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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 8

No método de Picard, a escolha inicial y 0 x = y 0 não é necessária. Refaça o Problema 3 com (a) y 0 x = k uma constante e k ≠ 1 e (b) y 0 x = x .

Passo 1

Olá, tudo bem?

  1. Olha só, a gente tem essa equação aqui no Problema 3:

    2. y ' = 2 x y

    E a gente vai usar o método de Picard para encontrar as funções pedidas.

    A questão nos deu y 0 = k , então temos x 0 = 0 , y 0 = k e f t ,   y n - 1 t =   2 t y n - 1 ( t ) .

    Lembrando que a fórmula de Picard é:

    y n x = y 0 + ∫ 0 x   f t ,   y n - 1 t   d t  

    Passo 2

    Então vamos por partes...

    Primeiro vamos encontrar y 1 :

    y 1 = k + ∫ 0 x 2 t ( 1 ) d t

    y 1 = k + ∫ 0 x 2 t   d t

    y 1 = k + t 2 0 x

    y 1 = k + x 2

    Beleza, encontramos y 1 , vamos seguir...

    Passo 3

    Agora y 2 :

    y 2 = k + ∫ 0 x 2 t ( k + t 2 ) d t

    y 2 = k + k t 2 + 2 t 4 4 0 x

    y 2 = k + k x 2 + x 4 2

    Beleza, mais um!

    Passo 4

    Agora y 3 , vamos lá...

    y 3 = k + ∫ 0 x 2 t k + k x 2 + x 4 2 d t

    y 3 = k + k t 2 + 2 k t 4 4 + 2 t 6 12 0 x

    y 3 = k + k x 2 + k x 4 2 + x 6 6

    Show! Achamos mais uma!

    Passo 5

    E agora vamos encontrar y 4 :

    y 4 = k + ∫ 0 x 2 t ( k + k t 2 + k t 4 2 + t 6 6 d t

    y 4 = k + k t 2 + k t 4 2 + k t 6 6 + t 8 24 0 x

    y 4 = k + k x 2 + k x 4 2 + k x 6 6 + x 8 24

    Uhul! Mais uma função encontrada!

    Passo 6

  2. Agora vamos ver quando y 0 = x ...

y 1 = x + ∫ 0 x 2 t ( t ) d t

y 1 = x + ∫ 0 x 2 t 2   d t

y 1 = x + 2 t 3 3 0 x

y 1 = x + 2 x 3 3

Passo 2

Agora vamos para a y 2 :

y 2 = x + ∫ 0 x 2 t t + 2 t 3 3 d t

y 2 = x + 2 t 3 3 + 4 t 5 15 0 x

y 2 = x + 2 x 3 3 + 4 x 5 15

Passo 3

E y 3 ...

y 3 = x + ∫ 0 x 2 t t + 2 3 t 3 + 4 t 5 15 d t

y 3 = x + 2 t 3 3 + 4 t 5 15 + 8 t 7 105 0 x

y 3 = x + 2 x 3 3 + 4 x 5 15 + 8 x 7 105

Passo 4

E por último, y 4 :

y 4 = x + ∫ 0 x 2 t ( t + 2 t 3 3 + 4 t 5 15 + 8 t 7 105 d t

y 4 = x + 2 t 3 3 + 4 t 5 15 + 8 t 7 105 + 16 945 t 9 0 x

y 4 = x + 2 x 3 3 + 4 x 5 15 + 8 x 7 105 + 16 945 x 9

E pronto! Terminamos agora! Ufaa!!

Resposta

  1. y 1 = k + x 2 ;   y 2 = k + k x 2 + x 4 2 ; y 3 = k + k x 2 + k x 4 2 + x 6 6 ; y 4 = k + k x 2 + k x 4 2 + k x 6 6 + x 8 24

  2. y 1 = x + 2 x 3 3 ;   y 2 = x + 2 x 3 3 + 4 x 5 15 ; y 3 = x + 2 x 3 3 + 4 x 5 15 + 8 x 7 105 ; y 4 = x + 2 x 3 3 + 4 x 5 15 + 8 x 7 105 + 16 945 x 9
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