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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 16

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

y ' ' ' + 2 y ' ' - y ' - 2 y = s e n ( 3 t ) ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' 0 = 1

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

y ' ' ' + 2 y ' ' - y ' - 2 y = s e n ( 3 t ) ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' 0 = 1

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

y ' ' ' + 2 y ' ' - y ' - 2 y = s e n 3 t

s 3 . Y s - s 2 . y 0 - s . y ' 0 - y ' ' ( 0 ) + 2 s 2 . Y s - s . y 0 - y ' 0 - s . Y s - y 0 - 2 Y ( s ) = 3 s 2 + 9

Sabemos do enunciado que y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' 0 = 1

s 3 . Y s - s 2 . 0 - s . 0 - 1 + 2 s 2 . Y s - s . 0 - 0 - s . Y s - 0 - 2 Y ( s ) = 3 s 2 + 9

Y s . s 3 - 1 + Y s . 2 s 2 - Y s . s - Y s . 2 = 3 s 2 + 9

Y s . s 3 + Y s . 2 s 2 - Y s . s - Y s . 2 = 3 s 2 + 9 + 1

Y s . s 3 + Y s . 2 s 2 - Y s . s - Y s . 2 = s 2 + 12 s 2 + 9

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s 3 + 2 s 2 - s - 2 ) = s 2 + 12 s 2 + 9

Y s = s 2 + 12 ( s 2 + 9 ) ( s ³ + 2 s 2 - s - 2 )

Y s = s 2 + 12 ( s 2 + 9 ) ( s + 2 ) ( s + 1 ) ( s - 1 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = s 2 + 12 ( s 2 + 9 ) ( s + 2 ) ( s + 1 ) ( s - 1 )

Expandindo em frações parciais:

s 2 + 12 ( s 2 + 9 ) ( s + 2 ) ( s + 1 ) ( s - 1 ) = A s + B s 2 + 9 + C s + 2 + D s + 1 + E s - 1

Então:

s 2 + 12 ( s 2 + 9 ) ( s + 2 ) ( s + 1 ) ( s - 1 ) = 3 130 s s 2 + 9 - 1 65 . 3 s 2 + 9 + 16 39 s + 2 + 13 20 s + 1 + 13 60 s - 1

Fazendo a transformada inversa dessas frações separadamente, encontramos:

y t = 13 60 e t - 13 20 e - t + 16 39 e - 2 t + 3 130 cos ⁡ 3 t - 1 65 s e n ( 3 t )

Resposta

y t = 13 60 e t - 13 20 e - t + 16 39 e - 2 t + 3 130 cos ⁡ 3 t - 1 65 s e n ( 3 t )

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