Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

y'' + 16y = 0; y1 = cos(4x)

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

y ' ' + 16 y = 0

Vamos usar a redução de ordem.

Vamos definir:

y = u x ⋅ cos ⁡ 4 x

Aí teremos:

y ' = u ' cos ⁡ 4 x - 4 sen ⁡ 4 x u

y ' ' = u ' ' cos ⁡ 4 x - 4 sen ⁡ 4 x u ' - 16 cos ⁡ 4 x u - 4 u ' sen ⁡ 4 x

y ' ' = u ' ' cos ⁡ 4 x - 8 u ' sen ⁡ 4 x - 16 u cos ⁡ 4 x

Passo 2

Vamos jogar isso na EDO pra ver no que dá:

y ' ' + 16 y = 0

u ' ' cos ⁡ 4 x - 8 u ' sen ⁡ 4 x - 16 u cos ⁡ 4 x + 16 u cos ⁡ 4 x = 0

u ' ' cos ⁡ 4 x - 8 u ' sen ⁡ 4 x = 0

u ' ' - 8 tg ⁡ 4 x   u ' = 0

Agora vamos ter que fazer outra substituição...

Passo 3

Vamos lá, fazendo:

w = u '

w ' = u ' '

Teremos:

w ' - 8 tg ⁡ 4 x w = 0

Resolvendo essa EDO linear:

w = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

w = e - ∫ - 8 tg ⁡ 4 x d x ∫ e ∫ - 8 tg ⁡ 4 x   d x ⋅ 0 d x

w = e - 2 ln ⁡ | cos ⁡ 4 x | ∫ 0   d x

w = c 1 cos 2 ⁡ 4 x

Passo 4

Agora a gente vai voltar pra u :

w = u ' = c 1 cos 2 ⁡ 4 x

u = ∫ c 1 cos 2 ⁡ 4 x d x

u = c 1 4 tg ⁡ 4 x + c 2

E como y = u x ⋅ cos ⁡ 4 x   , temos:

y = c 1 4 tg ⁡ 4 x + c 2 ⋅ cos ⁡ 4 x

Fazendo c 1 = 4   e   c 2 = 0 , temos a solução:

y 2 = tg ⁡ 4 x cos ⁡ 4 x

E terminamos😉

Resposta

y 2 = tg ⁡ 4 x cos ⁡ 4 x

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