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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 8

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

y ' ' - 25 y = 0 ;       y 1 = e 5 x

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

y ' ' - 25 y = 0

Vamos usar a redução de ordem.

Vamos definir:

y = u x ⋅ e 5 x

Aí teremos:

y ' = u ' e 5 x + 5 u e 5 x

y ' ' = u ' ' e 5 x + 5 u ' e 5 x + 5 u ' e 5 x + 25 u e 5 x

Passo 2

Vamos jogar isso na EDO pra ver no que dá:

y ' ' - 25 y = 0

u ' ' e 5 x + 5 u ' e 5 x + 5 u ' e 5 x + 25 u e 5 x - 25 u e 5 x = 0

u ' ' e 5 x + 10 u ' e 5 x = 0

u ' ' + 10 u ' = 0

Agora vamos ter que fazer outra substituição...

Passo 3

Vamos lá, fazendo:

w = u '

w ' = u ' '

Teremos:

w ' + 10 w = 0

Resolvendo essa EDO linear:

w = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

w = e - ∫ 10   d x ∫ e ∫ 10   d x ⋅ 0 d x

w = e - 10 x ∫ 0   d x

w = c 1 e - 10 x

Passo 4

Agora a gente vai voltar pra u :

w = u ' = c 1 e - 10 x

u = ∫ c 1 e - 10 x d x

u = - c 1 10 e - 10 x + c 2

E como y = u x ⋅ e 5 x   , temos:

y = - c 1 10 e - 10 x + c 2 ⋅ e 5 x

Fazendo c 1 = - 10   e   c 2 = 0 , temos a solução:

y 2 = e - 10 x e 5 x

y 2 = e - 5 x

E terminamos😉

Resposta

y 2 = e - 5 x

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Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x 2 y ' ' + 2 x y ' - 6 y = 0 ;y 1
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. 6 y ' ' + y ' - y = 0 ;y 1 = e x 3
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x 2 y ' ' - 7 x y ' + 16 y = 0 ;y
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x y ' ' + y ' = 0 ;y 1 = ln ⁡ x
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. 9 y ' ' - 12 y ' + 4 y = 0 ;y 1 =