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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 5

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

y ' ' - 2 y ' + 10 y = 0

Passo 1

Primeiramente, vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' p a s s a a ser x , e y é o termo independente.

x 2 - 2 x + 10 = 0

Sendo: a = 1 ,   b = - 2 ,   c = 10 .

Então para encontrar o ∆ usamos a fórmula de Bhaskara.

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:

    • y = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:

    • y = C 1 e r 1 t + C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos duas raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   t   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - ( - 2 ) ± ( - 2 ) 2 - 4 . 1.10 2 . 1

x = 2 ± 4 - 40 2.1

x = 2 ± - 36 2

x = 2 ± 6 i 2

x ' = 2 + 6 i 2 = 1 + 3 i ,     x ' ' = 2 - 6 i 2 = 1 - 3 i

Passo 2

Como ∆ < 0 , a solução é:

y = e α   t   ( C 1 cos ⁡ β t + C 2 sen ⁡ β t )

Substituindo os valores das raízes:

y = e 1 t   ( C 1 cos ⁡ 3   t + C 2 sen  3 ⁡ t )

Resposta

Então encontramos a resposta.

y = C 1 e t cos ⁡ 3   t + C 2 e t sen  3 ⁡ t )

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