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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 11

Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce.

9 y ' ' - 12 y ' + 4 y = 0 ,     y 0 = 2 ,                       y ' 0 = - 1 .

Passo 1

Primeiro temos que encontrar as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara. Vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' p a s s a a ser x , e y é o termo independente.

9 x 2 - 1 2 x + 4 = 0

Sendo: a = 9 ,   b = - 1 2 ,   c = 4 .

Então para encontrar o ∆ usamos a fórmula de Bhaskara.

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos 2 raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:

    • y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos 2 raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:

    • y = C 1 e r 1 x + C 2 t e r 2 x

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos 2 raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   x   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - ( - 1 2 ) ± - 1 2 2 - 4 . 9.4 2 . 9

x = 1 2 ± 144 - 14 4 2.9

x = 12 ± 0 18

x = 1 2 ± 0 18

x ' = 1 2 + 0 18 = 2 3 ,     x ' ' = 1 2 - 0 18 = 2 3

Passo 2

Como ∆ = 0 , a solução é:

y = C 1 e r 1 x + C 2 t e r 2 x

Substituindo os valores das raízes:

y = C 1 e 1 x + C 2 t e 1 x

y = C 1 e 2 3 t + C 2 t e 2 3 t

Passo 3

Agora vamos descobrir o valor das constantes através do valor inicial dado.

Fazemos a suposição que A seja uma função de x, isto é, A = A ( x ) e descobrir esta função para que:

y x = A x e 2 3 t

Substituindo:

y x = 2 e 2 3 t

E a segunda constante:

y ' x = A ' x e t 2 3 t + 2 e 2 3 t

y ' x = - 1 . 7 3 t e 2 3 t + 2 e 2 3 t

Resposta

A solução geral é:

y ' x = 2 e 2 3 t - 7 3 t e 2 3 t

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