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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 2

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

y ' ' - y ' = 0 ;     y 1 = 1

Passo 1

Opa! Tudo bem contigo?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

y ' ' - y ' = 0

Nessa aqui vamos usar a redução de ordem.

Vamos definir:

y = u x ⋅ 1

y ' = u ( x )

y ' ' = u ' ( x )

Passo 2

Substituindo isso na EDO, ficamos com:

y ' ' - y ' = 0

u ' - u = 0

d u d x = u

d u = u   d x

d u u = d x

Beleza! EDO separável! Vamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando...

∫ d u u = ∫ d x

  ln ⁡ u = x + C

e ln ⁡ u = e x + C

u = c e x

E como y ' = u ( x ) temos:

y ' = c e x

y = ∫ c e x   d x

y = c e x

Escolhendo c 2 = 1 , temos que uma segunda solução é y 2 = e x 😉

Resposta

y 2 = e x

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Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce. 9 y ' ' + 6 y ' + 82 y = 0 , y 0 = - 1 ,y ' 0 = 2 .
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