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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 13

Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce.

9 y ' ' + 6 y ' + 82 y = 0 ,     y 0 = - 1 ,                       y ' 0 = 2 .

Passo 1

Primeiro temos que encontrar as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara. Vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' p a s s a a ser x , e y é o termo independente.

9 x 2 + 6 x + 82 = 0

Sendo: a = 9 ,   b = 6 ,   c = 82 .

Então para encontrar o ∆ usamos a fórmula de Bhaskara.

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos 2 raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:

    • y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos 2 raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:

    • y = C 1 e r 1 x + C 2 t e r 2 x

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos 2 raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   x   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - 6 ± 6 2 - 4 . 9.82 2 . 9

x = - 6 ± 36 - 2952 2.9

x = - 6 ± - 2916 18

x = - 6 ± 54 i 18

x ' = - 6 + 54 i 18 = - 1 3 + 3 i ,     x ' ' = - 6 - 54 i 18 = - 1 3 - 3 i

Passo 2

Como ∆ = 0 , a solução é:

y = e α   x   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Substituindo os valores das raízes:

y = e - 1 3 t   ( C 1 cos ⁡ 3 t + C 2 sen ⁡ 3 t )

Passo 3

Agora vamos descobrir o valor das constantes através do valor inicial dado.

Fazemos a suposição que A seja uma função de x, isto é, A = A ( x ) e descobrir esta função para que:

y x = A x e 3 t

Substituindo:

y x = - 1 3 e 3 t

E a segunda constante:

y ' x = A ' x e 3 t + ( - 1 3 ` ) e 3 t

y ' x = 5 9 e 3 t + ( - 1 3 ` ) e 3 t ( cos ⁡ 3 t + sen ⁡ 3 t )

Resposta

A solução geral é:

y ' x = - e - t 3 cos ⁡ 3 t + 5 9 e - t 3 sen ⁡ 3 t

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