Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce.
Passo 1
Primeiro temos que encontrar as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara. Vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então passa a ser , a ser , e é o termo independente.
Sendo: .
Então para encontrar o usamos a fórmula de Bhaskara.
Importante!!!
- Se o resultado do , teremos 2 raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:
- Se o resultado do , teremos 2 raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:
- Se o resultado do , teremos 2 raízes complexas, e a equação característica vai ser:
Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:
Passo 2
Como a solução é:
Substituindo os valores das raízes:
Passo 3
Agora vamos descobrir o valor das constantes através do valor inicial dado.
Fazemos a suposição que A seja uma função de x, isto é, e descobrir esta função para que:
Substituindo:
E a segunda constante:
Resposta
A solução geral é: