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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 1

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

y ' ' + 5 y ' = 0 ;     y 1 = 1

Passo 1

Opa! Tudo bem contigo?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

y ' ' + 5 y ' = 0

Nessa aqui vamos usar a redução de ordem.

Vamos definir:

y = u x ⋅ 1

y ' = u ( x )

y ' ' = u ' ( x )

Passo 2

Substituindo isso na EDO, ficamos com:

u ' + 5 u = 0

d u d x = - 5 u

d u =   - 5 u   d x

- d u u = 5 d x

Beleza! EDO separável! Vamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando...

∫ - d u u = ∫ 5   d x

  ln ⁡ u = - 5 x + C

e ln ⁡ u = e - 5 x + C

u = c e - 5 x

E como y ' = u ( x ) temos:

y ' = c e - 5 x

y = ∫ c e - 5 x   d x

y = - 1 5 * c 2 e - 5 x

Escolhendo c 2 = 1 , temos que uma segunda solução é y = - 1 5 e - 5 x 😉

Resposta

y = - 1 5 e - 5 x

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Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada. t 2 y ' ' + 2 y ' - 2 y = 0 , t0 ; y 1 t = t
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