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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 24

Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.

t 2 y ' ' + 2 y ' - 2 y = 0 ,     t > 0 ;                 y 1 t = t

Passo 1

E aí...

Vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a segunda solução do problema, e ele nos dá a primeira solução que é y 1 t = t .

Para isso multiplicar essa solução por uma função que no caso vai ser v(t), note que ela está fazendo o papel de uma constante, e então se a gente tiver uma constante multiplicando uma solução ela também vai ser uma solução.

Passo 2

Vamos usar o nosso produto e achar suas derivadas.

y t = t . v ( t )

Usando a regra do produto vamos ter:

y ' = 1 v + t v '

y ' ' = v ' + 1 v ' + t v ' '

Passo 3

Achamos as derivadas. Então substituindo na EDO:

t 2 t v ' ' + 2 v ' + 2 t t v ' + v - 2 t v = 0

Fazendo a distributiva fica:

t 3 v ' ' + 2 t 2 v ' + 2 t 2 v ' + 2 t v - 2 t v = 0

Cortando os termos simétricos!

t 3 v ' ' + 4 t 2 v ' = 0

Agora que vem o pulo do gato. A gente vai substituir o v ' ' por w ' . E vai ficar:

t 3 w ' + 4 t 2 w = 0

E a mágica acontece! É uma EDO de primeira ordem, pois a maior derivada dela é ordem um. Por isso o nome redução de ordem.

Passo 4

O próximo passo é achar o valor de w . Perceba que é uma EDO a variáveis separáveis. Vamos usar a relação w ' = v ' ' , então w = v ' .

t 3 w ' + 4 t 2 w = 0

t 3 w ' = - 4 t 2 w

w ' w = - 4 t 2 t 3

d w w = - 4 t 2 t 3 d t

∫ d w w d w = - 4 ∫ t 2 t 3 d t

ln ⁡ w = - 4 ∫ t 2 . t - 3 d t

ln ⁡ w = - 4 ∫ t - 1 d t

ln ⁡ w = - 4 . ∫ 1 t d t

ln ⁡ w = - 4 ln ⁡ t

w = e l n t - 4

w = t - 4 + c

Se w = v ' = t - 4 , a gente integra v ' , pra achar o valor de v .

v = ∫ t - 4   d t

v = t - 3 - 3

v = - 1 3 t - 3

A gente ignora a constante porque só é interessante o valor t pra gente.

v = t - 3

Finalmente achamos o valor de v . Vamos substituir no nosso produto pra achar a segunda solução.

y t = t . v t

y 2 = t . t - 3

y 2 = t - 2

Missão cumprida!!! \o/

Resposta

y 2 = t - 2

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