Enunciado

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

y ' ' + 9 y = 0 ;       y 1 sen ⁡ 3 x

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

y ' ' + 9 y = 0

Vamos usar a redução de ordem.

Vamos definir:

y = u x ⋅ sen ⁡ 3 x

Aí teremos:

y ' = u ' sen ⁡ 3 x + 3 cos ⁡ 3 x u

y ' ' = u ' ' sen ⁡ 3 x + 6 u ' cos ⁡ 3 x - 9 u sen ⁡ 3 x

Passo 2

Vamos jogar isso na EDO pra ver no que dá:

y ' ' + 9 y = 0

u ' ' sen ⁡ 3 x + 6 u ' cos ⁡ 3 x - 9 u sen ⁡ 3 x + 9 u sen ⁡ 3 x = 0

y ' ' sen ⁡ 3 x + 6 u ' cos ⁡ 3 x = 0

y ' ' + 6 u ' c o t g   3 x = 0

Agora vamos ter que fazer outra substituição...

Passo 3

Vamos lá, fazendo:

w = u '

w ' = u ' '

Teremos:

w ' + 6 w   c o t g   x = 0

Resolvendo essa EDO linear:

w = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

w = e - ∫ 6 c o t g   3 x d x ∫ e ∫ 6   c o t g   3 x   d x ⋅ 0 d x

w = e 2 ln ⁡ sen ⁡ 3 x ∫ 0   d x

w = c 1 sen 2 ⁡ 3 x

Passo 4

Agora a gente vai voltar pra u :

w = u ' = c 1 sen 2 ⁡ 3 x

u = ∫ c 1 sen 2 ⁡ 3 x d x

u = - c 1 3 c o t g   3 x + c 2

E como y = u x ⋅ sen ⁡ 3 x   , temos:

y = - c 1 3 c o t g   3 x + c 2 ⋅ sen ⁡ 3 x

Fazendo c 1 = - 3   e   c 2 = 0 , temos a solução:

y 2 = c o t g   3 x sen ⁡ 3 x

E terminamos😉

Resposta

y 2 = c o t g   3 x sen ⁡ 3 x

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Considere a equação y′′ + 2ay′ + a²y = 0. Mostre que as raízes da equação característica são r1 = r2 = –a, de modo que uma solução da equação é e^–at.
Se ar² + br + c = 0 tem raízes iguais r1, mostre queComo a última expressão à direita na Eq. (i) é nula quando r = r1, segue que exp(r1t) é uma solução de L[y] = ay′′ + by′ + cy = 0.
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.