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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 27

Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Vamos olhar bem pra nossa equação pra poder classificar ela:

x y ' ' - y ' + 4 x 3 y = 0

Podemos ver que y é a nossa variável dependente e que o expoente dela é igual a 1 !

Portanto ela é linear!!

Mais o que a gente pode tirar dela?! Ela é igual a zero! Portanto homogênea!

Teremos então a solução da seguinte forma:

y x = c x sin ⁡ x ²

Passo 2

Vamos pegar então a nossa equação e toda vez que a gente se deparar com y a gente substitui por:

y x = c x sin ⁡ x ²

Quando a gente encontrar com y ' a gente substitui pela derivada de y e por ai vai...

Relembrando nossa equação original:

x y ' ' - y ' + 4 x 3 y = 0

Agora é só substituir:

x c x sin ⁡ x ² ' ' - c x sin ⁡ x 2 ' + 4 x ³   c x sin ⁡ x ² = 0

Resolvendo:

x c ' ' x sin ⁡ x 2 + 4 x ² c ' x cos ⁡ x ² - c ' ( x ) sin ⁡ x 2 = 0

c ' ' x c ' x = - 4 x cos ⁡ x 2 sin ⁡ x 2 + 1 x

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

c ' x = e ln ⁡ sin ⁡ x 2 - 2 + ln ⁡ x + C 1

c ' ( x ) = x sin ⁡ x 2 2 e C 1

c x = C 3 cot ⁡ x ² + C 2  

y x =     C 3 cos ⁡ x ² + C 2 sin ⁡ x ²

Resposta

y x =     C 3 cos ⁡ x ² + C 2 sin ⁡ x ²

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