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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 12

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

x 2 y ' ' + 2 x y ' - 6 y = 0 ;       y 1 = x 2

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

x 2 y ' ' + 2 x y ' - 6 y = 0

Aqui vamos usar a fórmula dada no livro:

y 2 = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2   d x

Primeiro precisamos deixar a EDO da forma bonitinha...

y ' ' + 2 x y ' = 6 y x 2

Passo 2

Agora temos P x = 2 x , e y 1 = x 2 , vamos jogar isso na fórmula:

y 2 = x 2 ∫ e - ∫ - 2 x   d x x 4 d x

y 2 = x 2 ∫ e - 2 ln ⁡ x x 4   d x

y 2 = x 2 ∫ x - 2 x 4   d x

y 2 = x 2 ∫ x - 6 d x

y 2 = x 2 - 1 5 x 5

y 2 = - 1 5 x 3

E pronto! Chegamos à segunda solução 😉

Resposta

y 2 = - 1 5 x 3

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