Se a, b e c são constantes positivas, mostre que todas as soluções de ay′′ + by′ + cy = 0 tendem a zero quando t → ∞.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar qual a Eq. (i).

a y ' ' + b y ' + c y = 0

As raízes da equação característica serão:

a r 2 + b r + c = 0

r 1 = r 2 =   - b / 2 a

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

y = C 1 e r t   + C 2 t e r t

y t = C 1 e - b t / 2 a   + C 2 t e - b t / 2 a

Passo 4

Agora vamos aplicar o limite que o enunciado pede

lim t → ∞ ⁡ C 1 e - b t / 2 a   + C 2 t e - b t / 2 a

Repara que o expoente é negativo, então quando aplicamos o limite, estamos dividindo uma constante por um número muuuuuuuuito grande. Deste modo, temos que

lim t → ∞ ⁡ C 1 e - b t / 2 a   + C 2 t e - b t / 2 a = 0

Resposta

y t = C 1 e - b t / 2 a   + C 2 t e - b t / 2 a

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