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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 9

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

9 y ' ' - 12 y ' + 4 y = 0 ;       y 1 = e 2 x 3

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

9 y ' ' - 12 y ' + 4 y = 0

Vamos usar a redução de ordem.

Vamos definir:

y = u x ⋅ e 2 x 3

Aí teremos:

y ' = u ' e 2 x 3 + 2 3 u e 2 x 3

y ' ' = u ' ' e 2 x 3 + 2 3 u ' e 2 x 3 + 2 3 u ' e 2 x 3 + 4 9 u e 2 x 3

y ' ' = u ' ' e 2 x 3 + 4 3 u ' e 2 x 3 + 4 9 u e 2 3 x

Passo 2

Vamos jogar isso na EDO pra ver no que dá:

9 y ' ' - 12 y ' + 4 y = 0

9   u ' ' e 2 x 3 + 4 3 u ' e 2 x 3 + 4 9 u e 2 3 x - 12 u ' e 2 x 3 + 2 3 u e 2 x 3 + 4 u e 2 x 3 = 0

9 u ' ' e 2 x 3 = 0

Daí a gente conclui que u ' ' = 0 .

Passo 3

Se u ' ' = 0 , temos:

u ' = c 1

u = c 1 x + c 2

E como y = u ⋅ e 2 x 3 :

y = c 1 x + c 2 e 2 x 3

Fazendo c 1 = 1   e   c 2 = 0 , encontramos a solução:

y 2 = x e 2 x 3

Resposta

y 2 = x e 2 x 3

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