Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

(1 - 2x - x^2) * y'' + 2(1 + x) * y' - 2y = 0; y_1 = x + 1

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

1 - 2 x - x 2 y ' ' + 2 1 + x y ' - 2 y = 0

y ' ' + 2 ( 1 + x ) 1 - 2 x - x 2 y ' - 2 y 1 - 2 x - x 2 = 0

Aqui vamos usar a fórmula dada no livro:

y 2 = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2   d x

Passo 2

Agora temos P x = 2 ( 1 + x ) 1 - 2 x - x 2 (é o que acompanha o y ' ) , e y 1 = x + 1 , vamos jogar isso na fórmula:

y 2 = ( x + 1 ) ∫ e - ∫ 2 ( 1 + x ) 1 - 2 x - x 2 d x x + 1 2 d x

y 2 = x + 1 ∫ e ln ⁡ 1 - 2 x - x 2 x + 1 2   d x

y 2 = x + 1 ∫ 1 - 2 x - x 2 x + 1 2   d x

y 2 = x + 1 ∫ 2 x + 1 2 - 1   d x

y 2 = x + 1 - 2 x + 1 - x

y 2 =   - 2 - x 2 - x

E pronto! Chegamos à segunda solução 😉

Resposta

y 2 =   - 2 - x 2 - x

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