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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 15

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

1 - 2 x - x 2 y ' ' + 2 1 + x y ' - 2 y = 0 ;       y 1 = x + 1

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

1 - 2 x - x 2 y ' ' + 2 1 + x y ' - 2 y = 0

y ' ' + 2 ( 1 + x ) 1 - 2 x - x 2 y ' - 2 y 1 - 2 x - x 2 = 0

Aqui vamos usar a fórmula dada no livro:

y 2 = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2   d x

Passo 2

Agora temos P x = 2 ( 1 + x ) 1 - 2 x - x 2 (é o que acompanha o y ' ) , e y 1 = x + 1 , vamos jogar isso na fórmula:

y 2 = ( x + 1 ) ∫ e - ∫ 2 ( 1 + x ) 1 - 2 x - x 2 d x x + 1 2 d x

y 2 = x + 1 ∫ e ln ⁡ 1 - 2 x - x 2 x + 1 2   d x

y 2 = x + 1 ∫ 1 - 2 x - x 2 x + 1 2   d x

y 2 = x + 1 ∫ 2 x + 1 2 - 1   d x

y 2 = x + 1 - 2 x + 1 - x

y 2 =   - 2 - x 2 - x

E pronto! Chegamos à segunda solução 😉

Resposta

y 2 =   - 2 - x 2 - x

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Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. 1 + 2 x y ' ' + 4 x y ' - 4 y = 0
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x 2 y ' ' +x y ' + y = 0 ;y 1 = co
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = 0 ;y 1
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. x 2 y ' ' - 7 x y ' - 20 y = 0 ;y
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. 3 x + 1 y ' ' - 9 x + 6 y ' + 9 y