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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 26

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

x 2 y ' ' - 7 x y ' - 20 y = 0 ;       y 1 = x 10

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

x 2 y ' ' - 7 x y ' - 20 y = 0

y ' ' - 7 x y ' - 20 y x 2 = 0

Aqui vamos usar a fórmula dada no livro:

y 2 = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2   d x

Passo 2

Agora temos P x = - 7 x     (é o que acompanha o y ' ) , e y 1 = x 10 , vamos jogar isso na fórmula:

y 2 = ( x 10 ) ∫ e - ∫ - 7 x d x x 10 2 d x

y 2 = ( x 10 ) ∫ e 7 ln ⁡ x x 20   d x

y 2 = x 10 ∫ x 7 x 20 d x

y 2 = x 10 - 1 12 x - 12  

y 2 = - 1 12 x - 2

Podemos desconsiderar as constantes...

y 2 = x - 2

E pronto! Chegamos à segunda solução 😉

Resposta

y 2 = x - 2

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