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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 19

Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.

1 + 2 x y ' ' + 4 x y ' - 4 y = 0 ;       y 1 = e - 2 x

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos encontrar uma outra solução pra essa EDO aqui:

1 + 2 x y ' ' + 4 x y ' - 4 y = 0

y ' ' + 4 x 1 + 2 x y ' - 4 y 1 + 2 x = 0

Aqui vamos usar a fórmula dada no livro:

y 2 = y 1 x ∫ e - ∫ P x d x y 1 2   d x

Passo 2

Agora temos P x = 4 x 1 + 2 x     (é o que acompanha o y ' ) , e y 1 = e - 2 x , vamos jogar isso na fórmula:

y 2 = e - 2 x ∫ e - ∫ 4 x 1 + 2 x d x e - 2 x 2 d x

y 2 = e - 2 x ∫ e - 2 x + ln ⁡ 1 + 2 x e - 4 x   d x

y 2 = e - 2 x   ∫ e - 2 x ( 1 + 2 x ) e - 4 x

y 2 = e - 2 x ∫ 1 + 2 x e 2 x   d x

y 2 = e - 2 x 1 2 e 2 x + x e 2 x - 1 2 e 2 x

y 2 = x

E pronto! Chegamos à segunda solução 😉

Resposta

y 2 = x

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