Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 30
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
Passo 1
Vamos lá pra mais um probleminha de segunda solução
Ó se liga, nesse caso queremos encontrar a segunda solução da equação , sendo que a primeira solução é
Nesse caso, a gente vai seguir a sugestão do enunciado e usar a fórmula 4 do seu livro, que fala que:
Dada a equação e uma primeira solução , uma segunda solução vai ser dada por
Então vamos lá??
Passo 2
Só pra relembrar, temos a equação
E a primeira solução é
Primeiramente, vamos deixar nossa equação nesse modelo:
Para isso, vamos dividir tudo por :
Belezinha, agora ela já ta com a carinha da equação
Comparando a nossa equação com a , a gente tem
Então agora é só jogar lá na fórmula do passo 1??
Isso mesmooo, vamos lá!
Passo 3
Vimos que a segunda solução é dada por
Substituindo e , temos
Pra começo de conversa, temos que resolver aquela integral ali no expoente do Euler:
Podemos separar na soma de duas frações:
E então na soma de duas integrais:
Aí temos:
Passo 4
Ta bom, agora vamos substituir em :
Por propriedade de potência, temos que :
Por propriedade de logaritmo,
Para resolver essa integral, vamos usar integral por partes
Passo 5
Temos a integral
Vamos aplicar integral por partes
Chamando e , temos e :
Ihh alá, vamos ter que aplicar integral por partes de novo hehe
Dessa vez vamos chamar e , aí temos e , agora vai!
Então, uma segunda solução é: