Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' - y ' - 12 y = e 4 x

Passo 1

E aíí meu caro amigo, vamos lá?

Temos que resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados

Pra começar, vamos ver quem é o operador que anula a função em x . No caso, temos que ver o operador que anula o e 4 x , né?

Quem anula e 4 x é o operador D - 4 , afinal ( D - 4 ) e 4 x = 0

Agora vamos aplicar o operador D - 4 na nossa equação:

D - 4 2 . ( D + 3 ) y = 0

Dessa forma, temos

y = c 1 . e 4 x + c 2 . e - 3 x + c 3 . x . e 4 x

Com y p = A x . e 4 x . Agora vamos aplicar y p na nossa equação para descobrirmos o valor de c 3

Passo 2

Aplicando y p na nossa equação, temos

7 A . e 4 x = e 4 x

Então, temos A = 1 7

Então, nossa solução é

y = c 1 . e 4 x + c 2 . e - 3 x + 1 7 . x . e 4 x

Resposta

y = c 1 . e 4 x + c 2 . e - 3 x + 1 7 . x . e 4 x

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