Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' - 2 y ' + y = x 3 + 4 x

Passo 1

E aíí meu caro amigo, vamos lá?

Temos que resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados

Pra começar, vamos ver quem é o operador que anula a função em x . No caso, temos que ver o operador que anula o x 3 + 4 x , né?

Quem anula x 3 + 4 x é o operador D 4 , afinal D 4 x 3 + 4 x = 0

Agora vamos aplicar o operador D 4 na nossa equação:

D 4 . D - 1 ² y = 0

Dessa forma, temos

y = c 1 . e x + c 2 x . e x + c 3 . x 3 + c 4 . x 2 + c 5 x + c 6

Com y p = A x 3 + B x 2 + C x + D . Agora vamos aplicar y p na nossa equação para descobrirmos o valor de c 3

Passo 2

Aplicando y p na nossa equação, temos

A = 1

B - 6 A = 0

6 A - 4 B + C = 4

2 B - 2 C + D = 0

Então, temos A = 1 ,   B = 6 ,   C = 22 ,   D = 32

Então, nossa solução é

y = c 1 . e x + c 2 x . e x + x 3 + 6 . x 2 + 22 x + 32

Resposta

y = c 1 . e x + c 2 x . e x + x 3 + 6 . x 2 + 22 x + 32

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