Enunciado

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' + 4 y ' + 4 y = 2 x + 6

Passo 1

E aíí meu caro amigo, vamos lá?

Temos que resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados

Pra começar, vamos ver quem é o operador que anula a função em x . No caso, temos que ver o operador que anula o 2 x + 6 , né?

Quem anula 2 x + 6 é o operador D ² , afinal D ² 2 x + 6 = 0

Agora vamos aplicar o operador D na nossa equação:

D 2 . D + 2 ² y = 0

Dessa forma, temos

y = c 1 . e - 2 x + c 2 . x . e - 2 x + c 3 + c 4 x

Com y p = A x + B . Agora vamos aplicar y p na nossa equação para descobrirmos o valor de c 3

Passo 2

Aplicando y p na nossa equação, temos

4 A = 2

4 A + 4 B = 6

Então, temos A = 1 2 e B = 1

Então, nossa solução é

y = c 1 . e - 2 x + c 2 . x . e - 2 x + x 2 + 1

Resposta

y = c 1 . e - 2 x + c 2 . x . e - 2 x + x 2 + 1

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