Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 32
Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
Oiii, vamos matar esse exercício?
Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:
1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é
2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é
3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é
Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:
Então vamos lá??
Passo 2
Usando a equação auxiliar, vamos escrever
Assim:
Temos uma equação biquadrada
Para resolver essa equação, vamos chamar , então temos :
Agora vamos resolver essa equação na variável
Temos
Então nossas raízes são:
Agora precisamos voltar para a variável
Passo 3
Quando resolvemos
Encontramos duas raízes reais distintas: e
Mas sabemos que , então:
E:
Então temos 4 raízes distintas: , , ,
Aí a nossa solução geral fica assim:
Reescrevendo a parte complexa usando a fórmula de Euler: