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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 18

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

d y d x + y . c o t g x = 2 c o s ⁡ ( x )

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha:

d y d x + y . c o t g x = 2 cos ⁡ x   ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = c o t g ( x ) e B x = 2 . c o s ⁡ ( x ) então:

I x = e ∫ c o t g ⁡ ( x )   d x

I x = e l n ⁡ | s e n ⁡ ( x ) |

I x = s e n ( x )

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 s e n ( x ) ∫ 2 . s e n x . c o s ⁡ ( x )   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente:

∫ 2 . s e n x . cos ⁡ x d x

Chamando u = s e n ( x ) , temos d u = cos ⁡ x d x

∫ 2 . s e n x . cos ⁡ x d x = 2 ∫ u   d u

∫ 2 . s e n x . cos ⁡ x d x = 2 u 2 2 = u ²

Como u = s e n x :

∫ 2 . s e n x . cos ⁡ x d x = s e n ² ( x )

Substituindo em ( I I I )

y x = 1 s e n x s e n ² ( x ) + c

y = s e n x + c s e n x

Com:

0 < x < π

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y = s e n x + c s e n x

0 < x < π

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