Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.2 - Ex. 13
Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
13.
Passo 1
Então pessoal, de início vale ressaltar que é interessantíssimo ter uma boa base de integração para resolver os problemas de equações diferenciais, tudo bem? Sendo assim, caso você não se lembre muito bem das técnicas de integração, sugiro dar uma revisada antes de iniciar o curso de equações diferenciais, belê? Show!
O exercício quer que a gente resolva a equação diferencial dada utilizando o método de separação de variáveis. Basicamente o que precisamos fazer é deixar tudo que tem de um lado da equação e tudo que tem do outro lado da equação e depois integrar tudo. Pareceu complicado? Bora descomplicar então!
Passo 2
A equação que nos foi dada é essa aqui:
Para isolarmos as variáveis precisamos reescrever o lado direito da equação de outra forma, ok? Lembrando dessa propriedade exponencial:
Podemos reescrever nossa função assim:
Agora sim conseguimos isolar as variáveis, saca só:
Show! Variáveis devidamente separadas. Simbora para o último passo!
Passo 3
Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:
Para a integral da esquerda vamos utilizar uma substituição simples, ok? A substituição vai ser essa aqui ó:
Substituindo o resultado na integral, teremos:
Logo:
Show!
Passo 4
Já para a integral da direita devemos utilizar a mesma linha de raciocínio, precisamos fazer uma substituição simples, se liga:
Substituindo o resultado na integral, teremos:
Logo:
Por fim, igualando os resultados:
Juntando com teremos uma terceira constante que vamos chamar de , ok? Logo, nosso resultado será:
Aplicando em ambos os lados da equação para reduzirmos nosso resultado:
E essa é a nossa função!