Resolva a equação diferencial

dy/dx = xy + 3x - 2y - 6

Passo 1

Inicialmente para resolver a EDO, reescreveremos de forma conveniente a equação que nos foi dada , teremos,

(d y)/(d x) = x y + 3 x - 2 y - 6 => (d y)/(d x) = y (x - 2) + 3 (x - 2) => (d y)/(d x) = ( y + 3 ) (x - 2)

reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de x e do outro todo mundo que depende de y .

(1)/(y + 3) d y = (x - 2) d x

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

int (1)/(y + 3) d y = int (x - 2) d x

Passo 2

Para resolver a integral em relação a y faremos,

int (1)/(y + 3) d y = ln |y + 3| + C_1

Passo 3

Para resolver a integral em relação a x , utilizaremos e a regra da diferença e a regra da retirada da constante,

int (x - 2) d x = int x d x - 2 int 1 d x = (x^2)/(2) + C_2 - 2 x + C_3

Passo 4

Portanto a solução da EDO é da forma,

int (1)/(y + 3) d y = int (x - 2) d x

=> ln |y + 3| + C_1 = (x^2)/(2) + C_2 - 2 x + C_3

De maneira geral teremos

ln |y + 3| - (x^2)/(2) + 2 x = C

Onde, C = C_2 + C_3 - C_1

Resposta

A solução da EDO é:

ln |y + 3| - (x^2)/(2) + 2 x = C

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