Resolva a equação diferencial

dy/dx = xy + 3x - 2y - 6

Passo 1

Inicialmente para resolver a EDO, reescreveremos de forma conveniente a equação que nos foi dada , teremos,

d y d x = x y + 3 x - 2 y - 6   ⇒ d y d x = y x - 2 + 3 x - 2 ⇒   d y d x = ( y + 3 ) x - 2    

reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de x e do outro todo mundo que depende de y .

1 y + 3 d y = x - 2   d x        

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

∫ 1 y + 3 d y     = ∫ x - 2   d x

Passo 2

Para resolver a integral em relação a y faremos,

∫ 1 y + 3 d y = ln ⁡ y + 3 + C 1    

Passo 3

Para resolver a integral em relação a x , utilizaremos e a regra da diferença e a regra da retirada da constante,

∫ x - 2   d x = ∫ x d x - 2 ∫ 1   d x = x 2 2 + C 2 - 2 x + C 3  

Passo 4

Portanto a solução da EDO é da forma,

∫ 1 y + 3 d y     = ∫ x - 2   d x

⇒ ln ⁡ y + 3 + C 1 = x 2 2 + C 2 - 2 x + C 3

De maneira geral teremos

ln ⁡ y + 3 - x 2 2 + 2 x = C

Onde, C = C 2 + C 3 - C 1

Resposta

A solução da EDO é:

ln ⁡ y + 3 - x 2 2 + 2 x = C

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