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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 22

Resolva a equação diferencial

(d y)/(d x) = e^(x - y) + e^x + e^(- y) + 1

Passo 1

Inicialmente reescreveremos de forma conveniente a equação que nos foi dada , teremos,

(d y)/(d x) = (e^x)/(e^y) + e^x + (1)/(e^y) + 1 => (e^x + 1)/(e^y) + ( e^x + 1 ) => (( e^x + 1 ) + e^y ( e^x + 1 ))/(e^y) = ( e^x + 1 ) . ((1)/(e^y) + e^y)

Agora para resolver a EDO, reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de x e do outro todo mundo que depende de y .

(1)/(((1)/(e^y) + e^y)) d y = ( e^x + 1 ) d x

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

int (1)/(((1)/(e^y) + e^y)) d y = int ( e^x + 1 ) d x

Passo 2

Para resolver a integral em relação a y , teremos

int (1)/(((1)/(e^y) + e^y)) d y = int (1)/((1)/(e^y)) d y + int (1)/(e^y) d y = int e^y d y + int (1)/(e^y) d y

Para resolver a segunda integral, usaremos a regra de substituição. Dessa maneira, suponha que u = e^y => d u = e^y d y => d y = (d u)/(e^y) = (d u)/(u) .

int (1)/(e^y) d y = int (1)/(u) (d u)/(u) = int (1)/(u^2) d u = int u^(- 2) d u = - u^(- 1) + C_1 = - (1)/(u) + C_1

Porém, como estamos com uma integral indefinida queremos encontrar a resposta na variável, original, ou seja,

= - (1)/(u) + C_1 = - (1)/(e^y) + C_1

Logo,

int (1)/(e^y) d y = - (1)/(e^y) + C_1

Assim,

int (1)/(((1)/(e^y) + e^y)) d y = int e^y d y + int (1)/(e^y) d y = e^y + C_2 - (1)/(e^y) + C_1

Passo 3

Para resolver a integral em relação a x , usaremos a regra da soma,

int ( e^x + 1 ) d x = int e^x d x + int 1 d x = e^x + x + C_3

Passo 4

Portanto a solução da EDO é da forma,

int (1)/(((1)/(e^y) + e^y)) d y = int ( e^x + 1 ) d x

=> e^y + C_2 - (1)/(e^y) + C_1 = e^x + x + C_3

De maneira geral teremos

e^y - (1)/(e^y) - (e^x + x) = C

Onde, C = C_3 - ( C_2 + C_1 )

Resposta

A solução da EDO é:

e^y - (1)/(e^y) - (e^x + x) = C

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