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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 43

Nos problemas 41-44, verifique que a dada família a dois parâmetros de funções é a solução geral para a equação diferencial não homogênea no intervalo indicado.

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 2 e 2 x + 4 x - 12

y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + x 2 e 2 x + x - 2 ,     - ∞ ,   ∞

Passo 1

E aí, tudo bem?

Olha só, olhando pra essa função aqui:

y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + x 2 e 2 x + x - 2

A gente tem que verificar que e 2 x   e   x e 2 x são um conjunto fundamental de soluções e que x 2 e 2 x + x - 2 é uma solução particular.

Vamos ver isso então...

Passo 2

Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes. E precisam satisfazer a EDO em questão.

Vamos ver primeiro se elas satisfazem a EDO...

Para y 1 = e 2 x , temos:

y 1 ' = 2 e 2 x

y 1 ' ' =   4 e 2 x

Substituindo na EDO homogênea associada:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0

4 e 2 x - 8 e 2 x + 4 e 2 x = 0

0 = 0

Então ela satisfaz a equação. Vamos ver a outra...

Passo 3

Para y 2 = x   e 2 x , temos:

y 2 ' = e 2 x + 2 x e 2 x

y 2 ' ' = 2 e x + 2 e 2 x + 4 x e 2 x

Substituindo na EDO homogênea associada:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0

2 e 2 x + 2 e 2 x + 4 x e 2 x - 4 e 2 x + 2 x e 2 x + 4 x e 2 x = 0

0 = 0

Então vimos que também é solução! 😉

Passo 4

Agora vamos ver se elas são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:

W = e 2 x x e 2 x 2 e 2 x e 2 x + 2 x e 2 x

= e 4 x + 2 x e 4 x - 2 x e 4 x

= e 4 x ≠ 0

Então vimos que as funções são LI, e, portanto, são um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.

Passo 5

Agora temos que ver se x 2 e 2 x + x - 2 é uma solução particular. Vamos ver:

y p = x 2 e 2 x + x - 2

y p ' = 2 x e 2 x + 2 x 2 e 2 x + 1

y p ' ' = 2 e 2 x + 4 x e 2 x + 4 x e 2 x + 4 x 2 e 2 x

Substituindo...

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 2 e 2 x + 4 x - 12

2 e 2 x + 4 x e 2 x + 4 x e 2 x + 4 x 2 e 2 x - 4 2 x e 2 x + 2 x 2 e 2 x + 1 + 4 x 2 e 2 x + x - 2 = 2 e 2 x + 4 x - 12

2 e 2 x + 4 x - 12 = 2 e 2 x + 4 x - 12

Então, é uma solução particular sim!

Sendo assim, verificamos que a família

y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + x 2 e 2 x + x - 2 ,      

é solução para a EDO! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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