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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 17.4 - Ex. 7

Use as séries de potência para resolver a equação diferencial.

7-

x 2 + 1 y ' ' + x y ' - y = 0

Passo 1

Supondo que exista uma série que é solução da equação:

y = ∑ n = 0 ∞ c n x n

Logo suas derivadas serão:

y ' = ∑ n = 1 ∞ n c n x n - 1 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 c n + 1 x n

E a segunda derivada:

y ' ' = ∑ n = 1 ∞ n n + 1 c n + 1 x n - 1 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 c n + 2 x n

Dessa forma a série será:

x 2 + 1 ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 c n + 2 x n + x ∑ n = 0 ∞ n + 1 c n + 1 x n - ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

Fazendo a distributiva temos a seguinte série:

∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 c n + 2 x n + 2 + ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 c n + 2 x n +

∑ n = 0 ∞ n + 1 c n + 1 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

Passo 2

Da série que chegamos no final do passo anterior podemos escrever que:

∑ n = 0 ∞ n + 1 c n + 1 x n + 1 = ∑ n = 1 ∞ n   c n x n = ∑ n = 0 ∞ n   c n x n

Pois:

1 c 1 x + 2 c 2 x 2 = 0 c 0 x 0 + 1 c 1 x + 2 c 2 x 2 + …

∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 c n + 2 x n + 2 = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n x n = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 c n x n

Pois:

2 1 c 2 x 2 + 3 2 c 2 x 3 + … = 0 - 1 c 0 x 0 + 1 0 c 1 x + 2 1 c 2 x 2 + …

Isso deixa a série como:

∑ n = 0 ∞ n n - 1 c n x n + ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 c n + 2 x n + ∑ n = 0 ∞ n   c n x n - ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

Juntando tudo temos:

∑ n = 0 ∞ n - 1 + n n - 1 c n + n + 1 n + 2 c n + 2 x n = 0

Passo 3

Agora podemos resolver a recursividade :

n - 1 + n n - 1 c n + n + 1 n + 2 c n + 2 = 0

c n + 2 = - n - 1 + n n - 1 c n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = - n 2 - 1 c n n + 1 n + 2 = - n - 1 c n n + 2

Isso nos daria os seguintes valores de c :

c 2 = - - 1 2 c 0 = 1 2 c 0

Agora vamos pular para c 4 (não que não exista c 3 mas é para podermos correlacionar com c 0 , os valores de c 1 se darão de outra forma):

c 4 = - 2 - 1 2 + 2 c 2 = - 1 4 × 1 2 c 0 = - 1 2 2 × 2 ! c 0

c 6 = - 4 - 1 4 + 2 c 4 = - 1 2 c 4 = - 3 3 ! × - 1 2 3 c 0 = 3 3 !   2 3 c 0

Logo:

c 2 n = - 1 n - 1 × 2 n - 3 ! c 0 2 2 n - 2 n ! n - 2 ! n = 2,3 , …

Essa é mais difícil de ver então recomendo fazer c 8 , c 10 para verificar isso.

Agora dado c 1 temos:

c 3 = - 1 - 1 1 + 2 c 1 = 0

Logo:

c 3 = c 5 = c 7 = … = c 2 n - 1 = 0

Dessa forma nossa série-solução será:

y = c 0 + c 1 x + c 0 x 2 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 × 2 n - 3 ! c 0 2 2 n - 2 n ! n - 2 !

Uma vez que nossa série começa a partir de n = 2 e temos que considerar que a série é do tipo ∑ n = 0 ∞ c n x n o primeiro termo será c 0 x 0 o primeiro c 1 x e o segundo utiliza do raciocínio extraído de c 2 = 1 2 c 0 logo c 0 x 2 2 .

Resposta

y = c 0 + c 1 x + c 0 x 2 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 × 2 n - 3 ! c 0 2 2 n - 2 n ! n - 2 !

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