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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 13

Em cada um dos problemas de 1 a 14:

  1. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x 0 ; encontre a relação de recorrência.
  2. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y 1 e y 2 (a menos que a série termine antes).
  3. Calculando o wronskiano W y 1 ,   y 2 x 0 , mostre que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções.
  4. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.

2 y ' ' + x y ' + 3 y = 0 ,     x 0 = 0

Passo 1

Nesse problema iremos utilizar a forma de série de potências para encontrarmos a solução da nossa EDO. Vamos primeiro supor que a solução seja algo do tipo

y = ∑ n a n ⋅ x - x 0 n

usando as informações dadas no enunciado. Vamos derivar duas vezes essa expressão para encontrarmos y ' e y ' ' e após um bom tempo manipulando as expressões, encontraremos nosso y 1 e y 2 para calcularmos o Wronskiano.

Passo 2

Bom, vamos lá! Pra começar, vamos seguir mais ou menos como foi dito no passo 1. Vamos supor y = ∑ n a n ⋅ x - x 0 n , como já dito, e usar o x 0 dado no enunciado. Assim temos que

y = ∑ n = 0 a n ⋅ x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n

Se derivarmos duas vezes, vamos chegar que

y ' = a 1 + 2 ⋅ a 2 ⋅ x + … + n ⋅ a n ⋅ x n - 1 = ∑ n = 1 ∞ n ⋅ a n x n - 1 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ⋅ a n x n

y ' ' = 2 ⋅ a 2 + … + n ⋅ n - 1 ⋅ a n ⋅ x n - 2 = ∑ n = 2 n ⋅ n - 1 ⋅ a n ⋅ x n - 2 = ∑ n = 0 ( n + 2 ) ⋅ n + 1 ⋅ a n ⋅ x n

Substituindo agora na nossa equação inicial, vamos ter que

2 ∑ n = 0 ( n + 2 ) ⋅ n + 1 ⋅ a n ⋅ x n + x ⋅ ∑ n = 0 ∞ n + 1 ⋅ a n x n + 3 ∑ n = 0 a n ⋅ x n = 0

Vamos expandir um pouco essa equação e manipular.

2 ∑ n = 0 ( n + 2 ) ⋅ n + 1 ⋅ a n ⋅ x n + ∑ n = 0 ∞ n + 1 ⋅ a n x n + 1 + 3 ∑ n = 0 a n ⋅ x n = 0

Precisamos achar um jeito de deixar ambos os lados da igualdade com os mesmos índices na somatória e apenas com o termo x n . Para isso, vamos expandir os termos dos dois lados da igualdade. Assim, ficaremos com nossa equação na forma

4 a 2 + 3 a 0 + ∑ n = 1 2 ⋅ n + 2 ⋅ n + 1 ⋅ a n + 2 + n ⋅ a n + 3 n a n x n = 0

Para toda essa relação ser verdade, temos que nossa equação de recorrência será

2 ⋅ n + 2 ⋅ n + 1 ⋅ a n + 2 + n ⋅ a n + 3 n a n = 0

2 ⋅ n + 2 ⋅ n + 1 ⋅ a n + 2 + 3 + n a n = 0 ,     n = 0 ,   1 ,   2 …

Sendo essa a resposta do nosso primeiro item.

Passo 3

Para o segundo item, vamos precisar encontrar as duas soluções y 1 e y 2 para a EDO. Se expandirmos nossa equação de recorrência, vamos chegar que

a n + 2 = - n + 3 a n 2 ⋅ n + 2 ⋅ n + 1

Fazendo para os valores pares e para impares, teremos que:

a 2 = - 3 ⋅ a 0 2 ⋅ 2 ⋅ 1 ,     a 4 = - 5 a 2 2 ⋅ 4 ⋅ 3 = 5 ⋅ 3 ⋅ a 0 2 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ,     a 6 = - 7 a 4 2 ⋅ 6 ⋅ 5 = - 7 ⋅ 5 ⋅ 3 a 0 2 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1

a 3 = - 4 a 1 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ,     a 5 = - 6 a 3 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 6 ⋅ 4 a 1 2 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ,     a 7 = - 8 a 5 2 ⋅ 7 ⋅ 6 = - 6 ⋅ 4 ⋅ 8 a 1 2 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2

Se colocarmos n + 2 = 2 k , vamos ter que para k = 1 ,   2 …

a 2 k = - 2 k + 1 a 2 k - 2 2 ⋅ 2 k - 1 ⋅ 2 k = 2 k - 1 2 k + 1 a 2 k - 4 2 2 ⋅ 2 k - 3 2 k - 1 = … = - 1 k ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 k - 1 a 0 2 k ⋅ 2 k !

E para n + 1 = 2 k , com k = 1 ,   2 … , vamos ter que

a 2 k + 1 = 2 k + 2 ⋅ a 2 k - 1 2 ⋅ 2 k + 1 2 k = 2 k + 2 ⋅ 2 k ⋅ a 2 k - 3 2 2 ⋅ 2 k - 2 ⋅ 2 k - 1 ⋅ 2 k ⋅ 2 k + 1 = … = - 1 k ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 k 2 k + 2 a 1 2 k ⋅ 2 k + 1 ! .

Chegando então que nossas duas soluções serão:

y 1 = 1 - 3 x 2 4 + 5 x 4 32 - 7 x 6 384 + … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 x 2 n 2 n ⋅ 2 n !

y 2 = x - 1 x 3 3 + 1 x 5 20 - 1 x 7 210 + … = x + ∑ n = 1 ∞ - 1 n ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n + 2 x 2 n + 1 2 n ⋅ 2 n + 1 !

Sendo essa a resposta do segundo item e do ultimo.

Passo 4

Se aplicarmos o wronskiano no ponto x 0 = 0 , teremos que y 1 x 0 = 1 , y 2 x 0 = 0 y 1 ' x 0 = 0 e y 2 ' x 0 = 1 . Assim, fazendo o determinante, temos que o wronskiano da

W y 1 , y 2 x 0 = 1 0 0 1 = 1

sendo então um conjunto fundamental de soluções e a resposta do nosso terceiro item.

Resposta

  1. 2 ⋅ n + 2 ⋅ n + 1 ⋅ a n + 2 + 3 + n a n = 0 ,     n = 0 ,   1 ,   2 …
  2. y 1 = 1 - 3 x 2 4 + 5 x 4 32 - 7 x 6 384 + … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 x 2 n 2 n ⋅ 2 n ! ,     y 2 = x - 1 x 3 3 + 1 x 5 20 - 1 x 7 210 + … = x + ∑ n = 1 ∞ - 1 n ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n + 2 x 2 n + 1 2 n ⋅ 2 n + 1 !
  3. W = 1
  4. - 1 n ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n + 1 x 2 n 2 n ⋅ 2 n ! ,     - 1 n ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ 2 n + 2 x 2 n + 1 2 n ⋅ 2 n + 1 !
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