Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 17.4 - Ex. 4

Use as série de potência para resolver a equação diferencial.

4-

x - 3 y ' + 2 y = 0

Passo 1

Existe uma solução da forma:

y = ∑ n = 0 ∞ c n x n

E a derivada dessa série em relação a x será igual a:

y ' = ∑ n = 1 ∞ n c n x n - 1

Outra forma de escrever essa derivada é somando-se 1 a todo n dentro da série de forma que teremos:

y ' = ∑ n = 0 ∞ n + 1 c n + 1 x n  

Agora aplicando essas séries na equação diferencial nós teremos:

x - 3 ∑ n = 0 ∞ n + 1 c n + 1 x n   + 2 ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

Passo 2

Vamos fazer as contas dessa série e ver no que vai dar:

∑ n = 0 ∞ n + 1 c n + 1 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ 3 n + 1 c n + 1 x n + ∑ n = 0 ∞ 2 c n x n = 0

Vamos reescrever :

∑ n = 0 ∞ n + 1 c n + 1 x n + 1 = ∑ n = 1 ∞ n   c n   x n

Isso também é igual a:

∑ n = 1 ∞ n   c n   x n = ∑ n = 0 ∞ n   c n   x n

Pois:

1 c 1 x + 2 c 2 x 2 + … = 0 c 0 x 0 + 1 c 1 x + 2 c 2 x 2 + …

Logo:

∑ n = 0 ∞ n c n x n - ∑ n = 0 ∞ 3 n + 1 c n + 1 x n + ∑ n = 0 ∞ 2 c n x n = 0

Agora se juntarmos tudo:

∑ n = 0 ∞ n + 2 c n x n - 3 n + 1 c n + 1 x n = 0

∑ n = 0 ∞ n + 2 c n - 3 n + 1 c n + 1 x n = 0

Passo 3

Como x n não será zero então a recursividade será (até por que precisamos unificar essas constantes c ) :

n + 2 c n - 3 n + 1 c n + 1 = 0

c n + 1 = n + 2 c n 3 ( n + 1 )

Onde:

c 1 = 2 c 0 3 ;

c 2 = 3 c 1 3 × 2 = 3 3 × 2 × 2 3 c 0 = 3 3 2 c 0 ;

c 3 = 4 c 2 3 × 3 = 4 3 2 × 1 3 c 0 = 4 3 3 c 0

Logo:

c n = n + 1 c 0 3 n

Dessa forma a solução será uma série igual a:

y x = ∑ n = 0 ∞ c 0 n + 1 3 n x n

Resposta

y x = ∑ n = 0 ∞ c 0 n + 1 3 n x n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 11-20, encontre os quatro primeiros termos de uma série de potências em x para a função dada. Calcule a série à mão ou use um SAC como ensinado. e - x cos ⁡ x
Nos problemas 1-10, encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas. ∑ n = 1 ∞ - 1 n nx n
Nos problemas 1-10, encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas. ∑ k = 1 ∞ - 1 k 10 k x - 5 k
Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências y = ∑ n = 0 ∞ x n . x n y
Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências y = ∑ n = 0 ∞ x n . x n (