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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 25

Nos Problemas 23-26, use (14) ou (15) para obter os resultados pedidos.

∫ x n J 0 x d x = x n J 1 x + n - 1 x n - 1 J 0 x - n - 1 2 ∫ x n - 2 J 0 x d x

Passo 1

Olá, tudo beleza?

(Parece haver um pequeno erro na questão sobre os problemas a serem usados, não há como usar os Problemas 14 e 15 nesse caso.)

Pra começar essa questão, vamos reescrever a integral dessa forma aqui:

∫ x n J 0 x d x = ∫ x n - 1 ( x J 0 x )   d x

Beleza, agora a gente vai aplicar integração por partes nessa integral. Vamos escolher:

u = x n - 1             d v = x J 0 x

Temos que:

d u = n - 1 x n - 2 e v = ∫ x   J 0 ( x ) = x J 1 x (como visto no Problema 10).

Passo 2

Agora a gente monta a integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ x n J 0 x d x = x n - 1 x   J 1 x - ∫ n - 1 x n - 2 ⋅ x J 1 x d x

= x n J 1 x - n - 1 ∫ x n - 1   J 1 x d x

= x n J 1 x - n - 1 ∫ x n - 1 - J 0 ' x   d x           ( * )

Passo 3

Vamos aplicar integração por partes de novo!

∫ x n - 1 - J 0 ' x   d x

Fazendo u = x n - 1 e d v = J 0 ' ( x ) , teremos:

d u = n - 1 x n - 2

v = - J 0 x

E aí temos:

∫ x n - 1 - J 0 ' x   d x = - x n - 1 J 0 x - ∫ - J 0 x n - 1 x n - 2   d x

= - x n - 1 J 0 x + n - 1 ∫ J 0 x x n - 2   d x  

Agora substituímos lá em ( * ) :

= x n J 1 x - n - 1 - x n - 1 J 0 x + n - 1 ∫ J 0 x x n - 2   d x

∫ x n J 0 x d x = x n J 1 x + n - 1 x n - 1 J 0 x - n - 1 2 ∫ J 0 x x n - 2   d x

E assim provamos o que foi pedido 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Proceda como no Exemplo 4 e expresse J - 1 2( x ) em termos de cos ⁡ x e uma potência de x .
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