Enunciado

Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

x y ' ' + y ' - 4 x y = 0

Passo 1

E aí meu colega, bora lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x y ' ' + y ' - 4 x y = r 2 c 0 x r - 1 + r 2 + 2 r + 1 c 1 x r + ∑ k = 2 ∞ k + r - 1 k + r c k + k + r c k - 4 c k - 2 x k + r - 1 = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r ² = 0

r 2 + 2 r + 1 c 1 = 0

k + r 2 c k - 4 c k - 2 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 0

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 0

Então:

c k = 4 c k - 2 k ² ,   k = 2,3 , 4 …

Então, nossa solução geral é

y = c 0 . 1 + x 2 + 1 4 x 4 + 1 36 x 6 + …

Resposta

y = c 0 . 1 + x 2 + 1 4 x 4 + 1 36 x 6 + …

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Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular
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