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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 24

Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 4 y = 0

Passo 1

E aí meu colega, bora lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 4 y = r 2 - 1 4 c 0 x r + r 2 + 2 r + 3 4 c 1 x r + 1 + ∑ k = 2 ∞ k + r - 1 k + r c k + k + r c k - 1 4 c k + c k - 2 x k + r = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r + 1 2 . r - 1 2 = 0

r 2 + 2 r + 3 4 c 1 = 0

k + r 2 - 1 4 c k + c k - 2 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 1 2 e r = - 1 2

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 1 2 e r = - 1 2

Usando r = 1 2 , temos

c k = - c k - 2 k ( k + 1 ) ,   k = 2,3 , 4 …

E então:

c 1 = - 1 3 ! c 0

c 3 = c 5 = c 7 = … = 0

c 4 = 1 5 ! c 0

Enquanto para r = - 1 2 temos:

c k = - c k - 2 k ( k - 1 ) ,   k = 2,3 , 4 …

Então:

c 2 = - 1 2 ! c 0

c 3 = c 5 = c 7 = … = 0

c 4 = 1 4 ! c 0

Então, nossa solução geral é

y = C 1 . x 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! x 2 n + C 2 x - 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x 2 n

y = x - 1 2 . C 1 s e n x + C 2 cos ⁡ x

Resposta

y = x - 1 2 . C 1 s e n x + C 2 cos ⁡ x

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Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 =
Especifique os pontos singulares de x 4 - 16 y ' ' + 2 y = 0
Especifique os pontos ordinários de x 3 - 8 y ' ' - 2 x y ' + y = 0
Nos problemas 7-10, especifique as singularidades regulares e irregulares da equação diferencial dada. x 3 - 10 x 2 + 25 x y ' ' + y ' = 0
Nos problemas 7-10, especifique as singularidades regulares e irregulares da equação diferencial dada. x 2 x 2 - 9 2 y ' ' - x 2 - 9 y ' + x y = 0