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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios de Revisão - Ex. 9

Nos problemas 7-10, especifique as singularidades regulares e irregulares da equação diferencial dada.

x 2 x 2 - 9 2 y ' ' - x 2 - 9 y ' + x y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Bom, vamos começar escrevendo a EDO da forma “certinha”:

y ' ' - y ' x 2 x 2 - 9 + y x x 2 - 9 2 = 0

Aqui temos:

P x = - 1 x 2 ( x 2 - 9 )     e     Q x = 1 x x 2 - 9 2

Então temos os pontos x = 0 e x = - 3   e   x = 3 como singulares na equação.

Vamos classificar agora como regular ou irregular.

Passo 2

Analisando primeiro o caso x = 0 . Para ser regular, é necessário que existam os limites:

Temos:

lim x → 0 ⁡ x   p x = l i m x → 0 - x x 2 x 2 - 9 = l i m x → 0 - 1 x x 2 - 9    

Esse limite não existe, então esse ponto é irregular!

Passo 3

Agora vamos ver o ponto x = - 3 :

lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 ( p ( x ) ) = lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 - 1 x 2 ( x 2 - 9 ) = - 1 9

lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 2 ( q ( x ) ) =   lim x → - 3 ⁡ x 2 - 9 2 ( 1 x x 2 - 9 2 ) ) = - 1 3

E os limites existem, então esse ponto é regular!

Passo 4

E agora o ponto x = 3 :

lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 ( p ( x ) ) = lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 - 1 x 2 ( x 2 - 9 ) = - 1 9

lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 2 ( q ( x ) ) =   lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 2 ( 1 x x 2 - 9 2 ) ) = 1 3

Os limites existem, então esse também é um ponto regular!

Resposta

Singularidade regular em x = - 3   e   x = 3 e uma irregular x = 0 .

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