Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 32
Nos problemas 29-34, encontre as trajetórias ortogonais das curvas dadas.
Passo 1
Bora lá matar esse probleminha?
Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por, certo?
Como nesse caso estamos trabalhando com coordenadas polares, temos que nos atentar a algumas coisas. A primeira é que em uma função temos
E também temos que duas curvas polares e são ortogonais somente se
Então, pra encontrarmos a equação diferencial das trajetórias ortogonais, vamos inverter e multiplicar por
Então vamos usar essas informações para encontrarmos as trajetórias ortogonais, belezinha?
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada da equação dada
Usando a regra do quociente:
Humm vamos isolar o lá na equação , pra aí podermos substituir na equação
Substituindo em :
Bora fazer um corta em cima e embaixo:
Agora se liga só, vamos inverter os dois lados pra chegarmos em algo parecido com o que temos lá na equação do passo 1
Passando o pro outro lado:
Passo 3
Agora vamos inverter a equação e acrescentar um sinal de menos, que aí vamos ter a equação diferencial das trajetórias ortogonais:
Invertendo:
Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P
Passo 4
Temos
Multiplicando em cruz:
Porém,
Boa, agora é só integrar dos dois lados:
Então:
Mas é uma constante, certo? Então vamos chamar de
E por fimmm, temos
