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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 12

Um termômetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 5 °   C . Após 1 minuto, o termômetro marcava 20 °   C , após 5 minutos, 10 °   C . Qual a temperatura da sala?

Passo 1

E aí, belezinha?

Nesse exercício vamos usar a lei do resfriamento de Newton ta bom?

Temos:

d T d t = k ( T - 5 )

Podemos escrever essa equação assim:

1 k ( T - 5 ) d T = d t

E aí integrando dos dois lados:

1 k . ln ⁡ T - 5 = t + c 2

ln ⁡ T - 5 = k ( t + c 2 )

e k ( t + c 2 ) = T - 5

Então:

T t = c 2 . e k t + 5

Passo 2

O problema fala pra gente que depois de 1 minuto, a temperatura é 20 °   C , então:

T 1 = 20 = c 2 . e k . 1 + 5

c 2 . e k = 15

e k = 15 c 2       ( I )

Ele também fala que depois de 5 minutos, a temperatura já cai pra 10 °   C :

T 5 = 1 0 = c 2 . e k . 5 + 5

c 2 . e k . 5 = 5

e k 5 = 5 c 2

Substituindo ( I ) na equação aí de cima:

15 c 2 5 = 5 c 2

c 2 5 c 2 = 15 5 5

c 2 4 = 151875

c 2 = 19,741

Voltando na equação ( I ) :

e k = 15 19,741

k = ln ⁡ 15 19,741

k = - 0,274

Substituindo k e c 2 na nossa equação, temos:

T t = 19,741 . e - 0,274 t + 5

Passo 3

Agora, pra fechar o exercício, vamos encontrar quanto vale T ( 0 ) , pois essa vai ser a temperatura da sala hehe, vamos lá

T 0 = 19,741 . e - 0,274 . 0 + 5

T 0 = 19,741 + 5

T 0 = 24,74 °   C

E acabouuuu ihá

Resposta

T 0 = 24,74 °   C

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Use o método do exercício 23 para resolver a equação diferencial. y ' + y = x y 3
Resolva o problema de valor inicial.x (d y)/(d x) - (y)/(x + 1) = x , y (1) = 0 , x0
Resolva as equações diferenciais t ln t (d r)/(d t) + r = t e^t
Resolva o problema de valor inicial:x y^' + y = x ln x ; y (1) = 0
Determine se a equação diferencial é lineary^' + x sqrt(y) = x^2