Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.Exercícios de Revisão - Ex. 35

Nos problemas 29-36, use a transformada de Laplace para resolver a equação dada

y ' t = cos ⁡ t + ∫ 0 t y τ cos ⁡ t - τ d τ ,       y 0 = 1

Passo 1

Vamo que vamo

Temos essa equação:

y ' t = cos ⁡ t + ∫ 0 t y τ cos ⁡ t - τ d τ ,       y 0 = 1

E para encontrar f ( t ) , vamos usar a transformada de Laplace ta bom, então o passo a passo é: fazer a transformada da equação inteira, isolar Y ( s ) e fazer a transformada inversa do que encontrarmos, fechou?

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

y ' t = cos ⁡ t + ∫ 0 t y τ cos ⁡ t - τ d τ

O termo ∫ 0 t y τ cos ⁡ t - τ d τ representa a convolução de c o s ⁡ ( t ) e y t no domínio t , e isso é equivalente à multiplicação no domínio s . Sabendo que a transformada de c o s ⁡ ( t ) é s s ² + 1 , temos

s . Y s - y 0 = s s 2 + 1 + Y s . s s 2 + 1

Sabemos que y 0 = 1 :

s . Y s - 1 = s s 2 + 1 + Y s . s s 2 + 1

Y s . s - s s 2 + 1 = s s 2 + 1 + 1

Então:

Y s = s ( s 2 + 1 ) s - s s 2 + 1 + 1 s - s s 2 + 1

Y s = s s 3 + 1 s - s s 2 + 1

Multiplicando a segunda fração por s 2 + 1 em cima e embaixo:

Y s = s s 3 + s 2 + 1 s ³

Y s = s 2 + s + 1 s ³

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, beleza?

Passo 3

Temos

Y s = s 2 + s + 1 s ³

Expandindo em frações parciais, temos:

Y s = 1 s + 1 s 2 + 1 2 . 2 s 3

Então podemos escrever:

y t = 1 + t + 1 2 t ²

Showww, vamos pros próximos!!

Resposta

y t = 1 + t + 1 2 t ²

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 29-36, use a transformada de Laplace para resolver a equação dada y ' ' - 2 y ' + y = e t , y 0 = 0 ,y ' 0 = 5
Nos problemas 29-36, use a transformada de Laplace para resolver a equação dada y ' ' - 8 y ' + 20 y = t e t , y 0 = 0 ,y ' 0 = 0
Nos problemas 29-36, use a transformada de Laplace para resolver a equação dada y ' - 5 y = f ( t ) Em que f t = t 2 ,0 ≤ t1 0 ,t ≥ 1 ,y 0 = 1
Nos problemas 25-28, (a) expresse f em termos de função degrau unitário, (b) calcule L f t e (c) calcule L e t f t
Nos problemas 25-28, (a) expresse f em termos de função degrau unitário, (b) calcule L f t e (c) calcule L e t f t