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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 3

Em cada um dos problemas de 1 a 5, resolva o problema dado usando expansão em autofunções.

y ' ' + 2 y = - x ,     y ' 0 = 0 ,         y ' 1 = 0

Sugestão: veja a Seção 11.2, Problema 3.

Passo 1

Primeiro vamos escrever essa equação na forma...

- y ' ' = 2 y + x

Procuramos a solução do problema dado como uma série em termos das autofunções normalizadas ϕ n do problema homogêneo associado:

y ' ' + λ y = 0

A solução dessa EDO aí, sabemos que é:

y = c 1 sin ⁡ λ x + c 2 cos ⁡ λ x

Aplicando as condições iniciais do problema, mas antes derivando...

y ' x = c 1 λ cos ⁡ λ x - c 2 λ sin ⁡ λ x

y ' 0 = 0         →

c 1 λ cos ⁡ 0 - c 2 λ sin ⁡ 0 = 0     →

c 1 = 0

E então...

y ' x = - c 2 λ sin ⁡ λ x

Aplicando a segunda condição de contorno ( y ' 1 = 0 )...

  y ' 1 = 0         →

- c 2 λ sin ⁡ λ = 0

Para c 2 não ser 0 ...

λ = n π    

Ou seja, os autovalores desse problema homogêneo são...

λ n = n 2 π 2

As autofunções ϕ n são...

y = c 1 sin ⁡ λ x + c 2 cos ⁡ λ x   →

ϕ n = k n cos ⁡ λ x =

k n cos ⁡ n π x

Como temos que ter uma autofunção normalizada, de ϕ n , podemos ver na solução do exercício 3 da seção anterior, que tal autofunção é...

ϕ n = 2 cos ⁡ n π x

Passo 2

Beleza! Agora vamos resolver a equação propriamente dita:

- y ' ' = 2 y + x

Esse 2 na frente do y é o μ do teorema e μ deve ser diferente de λ n . Como no nosso caso, para qualquer que seja o n , n 2 π 2 nunca vai ser igual a 2 , isto é:

μ ≠ λ n

Então a solução da não homogênea de acordo com o nosso capítulo é...

y x = ∑ n = 1 ∞ c n λ n - 2 ϕ n x

No nosso caso, temos lambda e temos ϕ :

y x = ∑ n = 1 ∞ c n n 2 π 2 - 2 2 cos ⁡ n π x

Falta encontramos o c n , neh?

Passo 3

O c n pode ser encontrado pela equação:

c n = ∫ 0 1 f x ϕ n x   d x

Onde f x = x (É a parte não homogênea da EDO que estamos trabalhando ).

c n = 2 ∫ 0 1 x cos ⁡ n π x   d x

c n = 2 n π sin ⁡ n π + cos ⁡ π n - 1 n 2 π 2

Como sin ⁡ n π = 0 e cos ⁡ π n = - 1 n ...

c n = 2 - 1 n - 1 n 2 π 2

Logo, concluímos que a resposta da nossa EDO não homogênea será...

y x = ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n - 1 n 2 π 2 n 2 π 2 - 2 2 cos ⁡ n π x       →

y x = ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n - 1 n 2 π 2 n 2 π 2 - 2 cos ⁡ n π x      

Resposta

y x = ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n - 1 n 2 π 2 n 2 π 2 - 2 cos ⁡ n π x      

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