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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 10

Em cada um dos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores.

y ' ' + π 2 y = a + x ,         y 0 = 0 ,         y 1 = 0

Passo 1

A forma que queremos chegar quando reescrevemos a equação diferencial é:

- y ' ' = μ y + f ( x )

Observe que essa equação diferencia pode ser reescrita como

- y ' ' = π 2 y - x - a

O que significa então que temos μ = π 2 e f x = - x - a .

Além disso, podemos concluir ainda que μ = π 2 é um autovalor correspondente à autofunção ϕ 1 x = 2   s e n   π x . Afinal, vimos no exercício 1 desta seção que as autofunções da equação homogênea y ' ' + λ y = 0 é:

ϕ 1 x = 2   s e n   λ x

Onde os autovalores λ ...

λ n = n 2 π 2

Viu só! De fato para n = 1 temos o nosso μ = π 2 .

De acordo com a teoria, a solução então só vai existir então se f x e   ϕ 1 ( x ) forem ortogonais, o que significa que:

∫ 0 1 f x ϕ 1 x d x   = 0

Substituindo f e ϕ ...

∫ 0 1 - x - a 2   s e n π x     d x = - 2 2 a + 1 π

Igualando isso a 0 , resulta em:

2 a + 1 = 0       →             a = - 1 2

Logo existe uma solução desde que a = 1 2 . Nesse caso a EDO é y ' ' + π 2 y = a + x

Passo 2

A solução complementar será:

y c x = c 1 cos ⁡ π x + c 2 sin ⁡ π x

A solução particular será:

y p x = A x + B

Derivando...

y p ' x = A

y p ' ' x = 0

E substituindo na EDO:

y ' ' + π 2 y = - 1 2 + x       →

π 2 A x + B = - 1 2 + x

Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontramos A = - 1 π 2   e   b = 1 2 π 2 .

Então, para solução geral teremos:

y x = c 1 cos ⁡ π x + c 2 sin ⁡ π x - 1 π 2 x + 1 2 π 2

Passo 3

Aplicando as condições de contorno

y 0 = 0 ,         y 1 = 0

Teremos...

y 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sin ⁡ 0 - 1 π 2 0 + 1 2 π 2     →

0 = c 1 + 1 2 π 2       →

c 1 = - 1 2 π 2

E...

y 1 = c 1 cos ⁡ π + c 2 sin ⁡ π - 1 π 2 + 1 2 π 2

0 = c 1 cos ⁡ π + c 2 sin ⁡ π - 1 π 2 + 1 2 π 2

0 = - c 1 - 1 π 2 + 1 2 π 2 →

c 1 = - 1 2 π 2

Logo, a solução do problema de valor de contorno é:

y x = - 1 2 π 2 cos ⁡ π x + c 2 sin ⁡ π x - 1 π 2 x + 1 2 π 2

Resposta

y x = - 1 2 π 2 cos ⁡ π x + c 2 sin ⁡ π x - 1 π 2 x + 1 2 π 2

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