Exercícios de Equação do Calor – Não Homogênea - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
Considere o problema de valor inicial e de contorno, definido por
Que representa a distribuição de temperatura numa barra de seção uniforme, de material homogêneo e de comprimento .
a) Determinar a distribuição de temperatura da barra, denotada por para todo , após alcançado o estado de equilíbrio térmico (estado estacionário).
b) Definindo , determinar o problema de valor inicial e de fronteira que a função deverá satisfazer. Não é necessário resolver o problema obtido, porém deve se justificar todos os argumentos que conduzem a ele.
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Considere a condução de calor em uma barra homogênea de comprimento igual a m e coeficiente de difusividade térmica igual a , cuja superfície lateral está isolada e que só troca calor com o ambiente através de suas extremidades. Suponha ainda que esteja inicialmente a uma temperatura de C e que a temperatura dos extremos da barra seja mantida constante igual a C para todo . Determine a temperatura sabendo que tal problema é modelado por
Ver solução completaQuestão 5
Seja o problemas de valor inicial e de fronteira (PVIF) relativo à equação do calor:
- Com extremos mantidos a temperaturas diferentes e condição inicial dada por
- Com extremidades isoladas e condição inicial dada por
Passo 1
Como as condições do problema não são homogêneas, buscamos uma solução estacionária . Como ela deve satisfazer a equação do calor:
Lembra que não depende de ; logo, suas derivadas em relação a são todas nulas!
Integrando duas vezes:
Aplicando as condições de contorno:
Pronto! Já temos a solução de .
Passo 2
Queremos uma solução do tipo
em que é o problema de condução do calor homogêneo.
Agora, vamos resolver com o passo-a-passo maroto que você já conhece !
Passo 3
Buscamos soluções por separação de variáveis :
Substituindo na equação
Passando tudo que tem para um lado e tudo que tem para o outro lado
Como essa igualdade vale para todo e todo , vamos igualá-la a uma constante
Separando a igualdade em duas equações, você vai encontrar isso aqui...
Substituindo as condições de contorno...
Passo 4
Isso nos dá um PVC em.
Esqueça, por enquanto, a condição que tem uma função: .
Precisamos agora achar
Passo 3
Como temos um problema de autovalor, vamos montar e resolver a equação característica da equação de
Agora vamos analisar cada caso.
Se teremos duas raízes
Nas condições de contorno...
Neste caso, só teremos soluções triviais.
Se teremos duas raízes iguais a a solução da seguinte forma:
Que no nosso caso vai ficar...
Aplicando as condições iniciais
Também só há soluções triviais aqui!
Se , e a solução tem essa cara aqui
Como queremos soluções não triviais
Passo 4
Agora vamos trabalhar nossa função usando a condição inicial
Resolvendo a EDO de primeira ordem vamos ter
Agora sim,
Passo 5
Pelo princípio da superposição, podemos escrever a série
Vamos aplicar a condição:
De cara, percebemos que para , Para !
Assim, a série vai ser finita e sua soma:
Questão 6
Considere o problema de valor inicial e de contorno, definido por
Que representa a distribuição de temperatura numa barra de seção uniforme, de material homogêneo e de comprimento .
- Determinar a distribuição de temperatura da barra, denotada por para todo , após alcançado o estado de equilíbrio térmico (estado estacionário).
- Definindo , determinar o problema de valor inicial e de fronteira que a função deverá satisfazer. Não é necessário resolver o problema obtido, porém deve se justificar todos os argumentos que conduzem a ele.
Questão 7
Determine a solução do problema
Dica 1:
O problema
Tem autovalores
e autofunções
Dica 2:
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