Nos problemas 31-34, encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata. 6 x y 3 + cos ⁡ y d x + k x 2 y 2 - x . s e n ( y ) d y = 0

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 34

Nos problemas 31-34, encontre o valor de para que a equação diferencial dada seja exata.

Passo 1

Vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

É uma equação exata se a expressão for uma diferencial exata, ou seja, se:

Passo 2

Vamos ver qual deve ser o valor de para que a equação

Seja exata

Temos e

Para que a equação seja exata, devemos seguir o critério do passo 1

Vamos começar calculando

Como é uma constante, temos:

Agora vamos calcular

Passo 3

Para que a equação seja exata, devemos ter

Agora é o momento de brilhar, com essa igualdade, podemos encontrar o valor de para que as derivadas parciais sejam iguais

Basicamente, como todos os termos são iguais de um lado e do outro, o termo que multiplica do lado esquerdo tem que ser igual o termo que multiplica do lado direito:

Então, para as derivadas parciais são iguais e, consequentemente, a nossa equação é exata

Resposta

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(2 (x)/(y) - (y)/(x^2 + y^2)) + ((x)/(x^2 + y^2) - (x^2)/(y^2)) (d y)/(d x) = 0

(x + y) + (x + 2 y) (d y)/(d x) = 0 , y (2) = 3

(x^2 y + x y - y) + (x^2 y - 2 x^2) (d y)/(d x) = 0

(d y)/(d x) = - (2 x y + 1)/(x^2 + 2 y)

(d y)/(d x) = (e^(- x) cos y - e^(2 y) cos x)/(- e^(- x) s e n y + 2 e^(2 y) s e n x)