Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 34
Nos problemas 31-34, encontre o valor de para que a equação diferencial dada seja exata.
Passo 1
Vamos lembrar a definição de equação exata:
Temos que
É uma equação exata se a expressão for uma diferencial exata, ou seja, se:
Passo 2
Vamos ver qual deve ser o valor de para que a equação
Seja exata
Temos e
Para que a equação seja exata, devemos seguir o critério do passo 1
Vamos começar calculando
Como é uma constante, temos:
Agora vamos calcular
Passo 3
Para que a equação seja exata, devemos ter
Agora é o momento de brilhar, com essa igualdade, podemos encontrar o valor de para que as derivadas parciais sejam iguais
Basicamente, como todos os termos são iguais de um lado e do outro, o termo que multiplica do lado esquerdo tem que ser igual o termo que multiplica do lado direito:
Então, para as derivadas parciais são iguais e, consequentemente, a nossa equação é exata