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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 24

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

1 x + 1 x 2 - y x 2 + y ² d x + y . e y + x x 2 + y ² d y = 0

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos verificar se a equação 1 x + 1 x 2 - y x 2 + y ² d x + y . e y + x x 2 + y ² d y = 0 é exata

Ela já está escrita no formato M x , y d x + N x , y d y = 0

Então, temos M x , y = 1 x + 1 x 2 - y x 2 + y ² e N x , y = y . e y + x x 2 + y ²

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ 1 x + 1 x 2 - y x 2 + y ² ∂ y

Derivando M em relação a y (usando a regra do quociente):

∂ M ∂ y = - x 2 - y ² ( x 2 + y 2 ) ²

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ y . e y + x x 2 + y 2 ∂ x

∂ N ∂ x = - x 2 - y ² ( x 2 + y 2 ) ²

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = - x 2 - y ² ( x 2 + y 2 ) ²

Logo, nossa equação é exata ;) agora bora resolver

Passo 4

Temos

1 x + 1 x 2 - y x 2 + y ² d x + y . e y + x x 2 + y ² d y = 0

Com M x , y = 1 x + 1 x 2 - y x 2 + y ² e N x , y = y . e y + x x 2 + y ²

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = 1 x + 1 x 2 - y x 2 + y ²

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ 1 x + 1 x 2 - y x 2 + y ² d x + g y

f = ∫ 1 x d x + ∫ 1 x 2 d x - ∫ y x 2 + y ² d x + g y

Resolvendo as integrais:

f = ln ⁡ x - 1 x - arctan ⁡ x y + g ( y )

Passo 5

Temos

f = ln ⁡ x - 1 x - arctan ⁡ x y + g ( y )   ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = x x 2 + y ² + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = y . e y + x x 2 + y ² :

∂ f ∂ y = x x 2 + y ² + g ' ( y ) = y . e y + x x 2 + y ²

Então:

g ' y = y . e y

Integrando em relação a y :

g y = e y y - e y   ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = ln ⁡ x - 1 x - arctan ⁡ x y + e y y - e y

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

ln ⁡ x - 1 x - arctan ⁡ x y + e y y - e y = c

Resposta

É   e x a t a

ln ⁡ x - 1 x - arctan ⁡ x y + e y y - e y = c

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(x^2 + y) + (x + e^y) (d y)/(d x) = 0
2 s e n y s e n x cos x + cos y s e n^2 x (d y)/(d x) = 0
(d y)/(d x) = (3 x^2 - 2 y - y^3)/(2 x + 3 x y^2)
y^' = e^(x + y)
(d y)/(d x) + (2 y^2 + 6 x y - 4)/(3 x^2 + 4 x y + 3 y^2) = 0