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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 12

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

d x d y = x + y

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

A equação dada nesse exercício é linear na variável x , sendo escrita como d x d y + A y . x = B ( y ) olha:

d x d y - x = y     ( I )

A solução de uma equação diferencial linear em x é dada por:

x ( y ) = 1 I y ∫ I y . B y   d y + c     ( I I )

Onde I y = e ∫ A y   d y

Na nossa equação ( I ) , temos A y = - 1 e B y = y então:

I y = e ∫ - 1   d y

I y = e - y

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

x ( y ) = 1 e - y ∫ e - y . ( y )   d y + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente, temos

∫ e - y . ( y )   d y

Vamos aplicar integral por partes com u = y e d v = e - y , e aí temos d u = 1 e v = - e - y

∫ e - y . y d y = - y . e - y - ∫ - e - y     d y

∫ e - y . y d y = - y . e - y - e - y

Substituindo em ( I I I ) :

x y = 1 e - y - y . e - y - e - y + c

x y = - y - 1 + c e - y

Sendo que não temos restrições em y :

- ∞ < y < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

x y = - y - 1 + c e - y

- ∞ < y < ∞

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Determine se a equação diferencial é linear y ' + x y = x 2
Determine se a equação diferencial é linear d R d t + t cos ⁡ R = e - t
Determine se a equação diferencial é linear y ' - x = y tan ⁡ x
Determine se a equação diferencial é linear u e t = t + t d u d t
Resolva as equações diferenciais y ' + y = 1