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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.3 - Ex. 38

Nos problemas 31-44, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

y 3 d x = 2 x 3 d y - 2 x 2 y   d x ;     y 1 = 2  

Passo 1

Opa, tudo beleza? Bora resolver essa equação!

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. A gente pode fazer y = u x     o u     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

y 3 d x = 2 x 3 d y - 2 x 2 y   d x

y 3 + 2 x 2 y   d x = 2 x 3 d y

Vemos que a parte N ( x , y ) é simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

y 3 + 2 x 2 y   d x = 2 x 3 d y

u 3 x 3 + 2 x 3 u d x = 2 x 3 ( u   d x + x   d u )

u 3 x 3 d x + 2 x 3 u   d x = 2 x 3 u d x + 2 x 4 d u

u 3 x 3 d x = 2 x 4 d u

u 3 d x = 2 x   d u

d x x = 2 u 3   d u

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d x x = ∫ 2 u 3 d u

ln ⁡ | x | = - 1 u 2 + C

Como y = u x , temos u = y x :

ln ⁡ | x | = - x 2 y 2 + C  

Aplicando exponencial dos dois lados, ficamos com:

x = c 1 e - x 2 y 2

Bom, chegamos a solução geral, mas a gente tem um problema de valor inicial, então temos que usar pra descobrir esse c 1 aí...

Passo 4

Bom, temos que y 1 = 2 , então vamos substituir isso na equação:

x = c 1 e - x 2 y 2

1 = c 1 e - 1 2

c 1 = e 1 2

Então a solução do problema de valor inicial é:

x = e 1 2 e - x 2 y 2

Prontinho! 😉

Resposta

x = e 1 2 e - x 2 y 2

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