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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 37

Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.

x 2 y ' ' - 6 x y ' + 12 y = 0 ; x 3 ,   x 4     ( 0 ,   ∞ )

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes. E precisam satisfazer a EDO em questão.

Vamos ver primeiro se elas satisfazem a EDO...

Para y 1 = x 3 , temos:

y 1 ' = 3 x 2

y 1 ' ' = 6 x

Substituindo na EDO:

x 2 y ' ' - 6 x y ' + 12 y = 0

x 2 6 x - 6 x 3 x 2 + 12 x 3 = 0

6 x 3 - 18 x 3 + 12 x 3 = 0

0 = 0

Então ela satisfaz a equação. Vamos ver a outra...

Passo 2

Para y 2 = x 4 , temos:

y 2 ' = 4 x 3

y 2 ' ' = 12 x 2

x 2 y ' ' - 6 x y ' + 12 y = 0

x 2 12 x 2 - 6 x 4 x 3 + 12 x 4 = 0

12 x 4 - 24 x 4 + 12 x 4 = 0

0 = 0

E assim vemos que ela também satisfaz a equação😉

Passo 3

Agora vamos ver se elas são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:

W =   x 3 x 4 3 x 2 4 x 3

= 4 x 6 - 3 x 6

= x 6 ≠ 0

Então vimos que as funções são LI, e, portanto, são um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.

Passo 4

Então agora, de acordo com a definição 4.4, temos que a solução geral é dada por:

y = c 1 x 3 + c 2   x 4

E prontinho! Terminamos por aqui 😉

Resposta

y = c 1 x 3 + c 2   x 4

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