15. y''' + 10y'' + 25y' = 0

Passo 1

Então pessoal, para encontrarmos a solução das equações diferenciais dos problemas 13-18 é beeem tranquilo, pois todas as equações diferenciais são iguais a zero! Mas pera aí, o que isso significa? Isso significa que não precisamos calcular a solução particular do problema, que era JUSTAMENTE a parte mais complexa do trem!

Lembrem-se que a solução para esses problemas tem a seguinte cara:

y = y c + y p

Como não temos solução particular, então:

y = y c

E para calcularmos y c , que é a solução complementar do problema, é MUUITO tranquilo! Basta acharmos as raízes da equação característica fazendo as substituições: y = 1 ,   y ' = m ,   y ' ' = m 2 ,   y ' ' ' = m 3 ,   … e assim por diante!

Agora chega de papo, bora ver como que faz isso aí na prática!

Passo 2

Nossa equação diferencial é:

y ' ' ' + 10 y ' ' + 25 y ' = 0

Fazendo as substituições:

m 3 + 10 m 2 + 25 m = 0

m m 2 + 10 m + 25 = 0

Aqui já encontramos que uma das raízes é m 1 = 0 , certo? Agora aplicando Bháskara no termo quadrático, teremos:

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = - 10 ± 100 - 4 . 1.25 2 . 1 = - 10 2 = - 5

O que nos dá:

m 2 = m 3 = - 5

Showww!

Passo 3

Como temos três raízes no qual duas são idênticas e uma é distinta, isso significa que nossa solução complementar terá o seguinte formato:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 e m 2 x + c 3 x e m 3 x

Logo:

y = c 1 + c 2 e - 5 x + c 3 x e - 5 x

E está aí nossa solução, galera! 😊

Resposta

y = c 1 + c 2 e - 5 x + c 3 x e - 5 x

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