15. y^(' ' ') + 10 y^(' ') + 25 y^' = 0

Passo 1

Então pessoal, para encontrarmos a solução das equações diferenciais dos problemas 13-18 é beeem tranquilo, pois todas as equações diferenciais são iguais a zero! Mas pera aí, o que isso significa? Isso significa que não precisamos calcular a solução particular do problema, que era JUSTAMENTE a parte mais complexa do trem!

Lembrem-se que a solução para esses problemas tem a seguinte cara:

y = y_c + y_p

Como não temos solução particular, então:

y = y_c

E para calcularmos y_c , que é a solução complementar do problema, é MUUITO tranquilo! Basta acharmos as raízes da equação característica fazendo as substituições: y = 1 , y^' = m , y^(' ') = m^2 , y^(' ' ') = m^3 , ... e assim por diante!

Agora chega de papo, bora ver como que faz isso aí na prática!

Passo 2

Nossa equação diferencial é:

y^(' ' ') + 10 y^(' ') + 25 y^' = 0

Fazendo as substituições:

m^3 + 10 m^2 + 25 m = 0

m (m^2 + 10 m + 25) = 0

Aqui já encontramos que uma das raízes é m_1 = 0 , certo? Agora aplicando Bháskara no termo quadrático, teremos:

m = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

m = (- 10 +- sqrt(100 - 4 . 1.25))/(2 . 1) = (- 10)/(2) = - 5

O que nos dá:

m_2 = m_3 = - 5

Showww!

Passo 3

Como temos três raízes no qual duas são idênticas e uma é distinta, isso significa que nossa solução complementar terá o seguinte formato:

y_c = c_1 e^(m_1 x) + c_2 e^(m_2 x) + c_3 x e^(m_3 x)

Logo:

y = c_1 + c_2 e^(- 5 x) + c_3 x e^(- 5 x)

E está aí nossa solução, galera! 😊

Resposta

y = c_1 + c_2 e^(- 5 x) + c_3 x e^(- 5 x)

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