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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 39

Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.

x 3 y ' ' ' + 6 x 2 y ' ' + 4 x y ' - 4 y = 0 ; x ,   x - 2 , x - 2 ln ⁡ x     ( 0 ,   ∞ )

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes. E precisam satisfazer a EDO em questão.

Vamos ver primeiro se elas satisfazem a EDO...

Para y 1 = x , temos:

y 1 ' = 1

y 1 ' ' = 0

y 1 ' ' ' = 0

Substituindo na EDO:

x 3 y ' ' ' + 6 x 2 y ' ' + 4 x y ' - 4 y = 0

x 3 0 + 6 x 2 0 + 4 x 1 - 4 x = 0

0 = 0

Então ela satisfaz a equação. Vamos ver a outra...

Passo 2

Para y 2 = x - 2 , temos:

y 2 ' = - 2 x - 3

y 2 ' ' = 6 x - 4

y 2 ' ' ' =   - 24 x - 5

x 3 y ' ' ' + 6 x 2 y ' ' + 4 x y ' - 4 y = 0

x 3 - 24 x - 5 + 6 x 2 6 x - 4 + 4 x - 2 x - 3 - 4 x - 2 = 0

- 24 x - 2 + 36 x - 2 - 8 x - 2 - 4 x - 2 = 0

0 = 0

E assim vemos que ela também satisfaz a equação😉

Passo 3

Vamos ver para y 3 = x - 2 ln ⁡ x :

y 3 ' = - 2 x - 3 ln ⁡ x + x - 3

y 3 ' ' = 6 x - 4 ln ⁡ x - 5 x - 4

y 3 ' ' ' =   - 24 x - 5 ln ⁡ x + 26 x - 5

Substituindo na EDO:

x 3 y ' ' ' + 6 x 2 y ' ' + 4 x y ' - 4 y = 0

x 3 - 24 x - 5 ln ⁡ x + 26 x - 5 + 6 x 2 6 x - 4 ln ⁡ x - 5 x - 4 + 4 x - 2 x - 3 ln ⁡ x + x - 3 - 4 x - 2 ln ⁡ x = 0

0 = 0

Então também é solução!

Passo 4

Agora vamos ver se elas são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:

W = x x - 2 x - 2 ln ⁡ x 1 - 2 x - 3 - 2 x - 3 ln ⁡ x + x - 3 0 6 x - 4 6 x - 4 ln ⁡ x - 5 x - 4

= 9 x - 6 ≠ 0

Então vimos que as funções são LI, e, portanto, são um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.

Passo 5

Então agora, de acordo com a definição 4.4, temos que a solução geral é dada por:

y = c 1 x + c 2   x - 2 + c 3 x - 2 ln ⁡ x

E prontinho! Terminamos por aqui 😉

Resposta

y = c 1 x + c 2   x - 2 + c 3 x - 2 ln ⁡ x

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