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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 38

Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.

x 2 y ' ' + x y ' + y = 0 ;   cos ⁡ ln ⁡ x , sen ⁡ ln ⁡ x     ( 0 ,   ∞ )

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes. E precisam satisfazer a EDO em questão.

Vamos ver primeiro se elas satisfazem a EDO...

Para y 1 = cos ⁡ ln ⁡ x , temos:

y 1 ' = - sen ⁡ ( ln ⁡ x ) x

y 1 ' ' = - cos ⁡ ln ⁡ x + sen ⁡ ( ln ⁡ x ) x 2

Substituindo na EDO:

x 2 y ' ' + x y ' + y = 0

x 2 - cos ⁡ ln ⁡ x + sen ⁡ ( ln ⁡ x ) x 2 + x - sen ⁡ ( ln ⁡ x ) x + cos ⁡ ln ⁡ x = 0

- cos ⁡ ln ⁡ x + sen ⁡ ( ln ⁡ x ) - sen ⁡ ln ⁡ x + cos ⁡ ln ⁡ x = 0

0 = 0

Então ela satisfaz a equação. Vamos ver a outra...

Passo 2

Para y 2 = sen ⁡ ( ln ⁡ x ) , temos:

y 2 ' = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) x

y 2 ' ' = - cos ⁡ ln ⁡ x - sen ⁡ ( ln ⁡ x ) x 2

Substituindo na EDO:

x 2 y ' ' + x y ' + y = 0

x 2 - cos ⁡ ln ⁡ x - sen ⁡ ( ln ⁡ x ) x 2 + x cos ⁡ ( ln ⁡ x ) x + sen ⁡ ( ln ⁡ x ) = 0

0 = 0

Então vimos que também é solução! 😉

Passo 3

Agora vamos ver se elas são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:

W = sen ⁡ ( ln ⁡ x ) cos ⁡ ( ln ⁡ x ) sen ⁡ ( ln ⁡ x ) x cos ⁡ ln ⁡ x x

= 1 x ≠ 0

Então vimos que as funções são LI, e, portanto, são um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.

Passo 4

Então agora, de acordo com a definição 4.4, temos que a solução geral é dada por:

y = c 1 sen ⁡ ( ln ⁡ x ) + c 2 cos ⁡ ( ln ⁡ x )

E prontinho! Terminamos por aqui 😉

Resposta

y = c 1 sen ⁡ ( ln ⁡ x ) + c 2 cos ⁡ ( ln ⁡ x )

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