Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 47
Sejam duas soluções para (9).
- Se é o Wronskiano de , mostre que
- Deduza a fórmula de Abel*
- Usando uma forma alternativa da fórmula de Abel
- Mostre que, se então para em , enquanto, se , então para todo no intervalo.
Em que é uma constante.
Para , mostre que
Passo 1
Eita que aqui temos um problemão hein?
Mas vamos devagar que a gente consegue!
Vamos assumir que são soluções da equação .
Vamos calcular o Wronskiano e ver se
Temos:
Aí a gente vai ter:
Passo 2
Agora a gente vai substituir isso na igualdade que nos deram:
Agora a gente vai somar e subtrair :
Agrupando...
E como elas são solução dessa EDO aí dos colchetes, temos:
Passo 3
b) Agora que já provamos a equação do item (a), podemos dizer que é solução da equação:
Essa é uma EDO separável, vamos resolver:
Integrando dos dois lados:
E chegamos a fórmula que queríamos! 😉
Passo 4
c) Para na equação anterior, temos:
Se os limites de integração são iguais, a integral zera. Então temos:
E aí substituindo na fórmula, temos:
Passo 5
d) Pelo item anterior, vimos que:
Então se , temos:
Do contrário, se , então o Wronskiano também é diferente de zero 😉
E terminamos por aqui!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)